高考数学(理)大一轮复习精讲课件计数原理与概率随机变量及其分布第七节离散型随机变量及其分布列

第七节离散型随机变量及其分布列基础盘查一离散型随机变量及其分布列(一)循纲忆知1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．了解分布列对于刻画随机现象的重要性．(二)小题查验1．判断正误(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()√×√2．(人教A版教材例题改编)用X表示投掷一枚均匀的骰子获得的点数，且X的分布列为P(x＝i)＝16(i＝1,2，…，6)，则掷出的点数是偶数的概率为____．123．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝____.解析：由分布列的性质知12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝22a＝13.13基础盘查二常见离散型随机变量的分布列(一)循纲忆知理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(二)小题查验1．判断正误(1)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布．()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()×√2．(人教A版教材例题改编)某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，则中奖的概率为_______．0.1913．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P0.10.60.3考点一离散型随机变量的分布列的性质(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p2＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.[提醒]分布列的性质(2)的作用：可以用来检查所写出的分布列是否有误，还可以求分布列中的某些参数．[题组练透]1．已知随机变量X的概率分布如下：X12345678910P23232233234235236237238239m则P(X＝10)＝()A．239B．2310C．139D．1310解析：由离散型随机变量分布列的性质可知23＋232＋233＋…＋239＋m＝1，∴m＝1－23＋232＋233＋…＋239＝1－2·131－1391－13＝139＝139.答案：C2．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范围是_________．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，∴－13≤d≤13.23－13，13利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．[类题通法]考点二离散型随机变量的分布列求法(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]离散型随机变量的分布列的表示设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为了简单起见，也可以用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．[典题例析](2014·江苏高考改编)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126[类题通法]1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．2．在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解．[演练冲关](2015·湖北八校联考)某射手射击一次所得环数X的分布列如下：X78910P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.(1)求ξ＞7的概率；(2)求ξ的分布列．解：(1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.(2)ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝0.12＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.42＝0.24，P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36.∴ξ的分布列为ξ78910P0.010.240.390.36考点三超几何分布(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．[典题例析](2014·天津高考改编)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13C27＋C03C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130[类题通法]对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．[演练冲关](2015·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列．解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝C25C14C39＝1021.(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C35C39＝542，P(X＝1)＝C25C14C39＝1021，P(X＝2)＝C15C24C39＝514，P(X＝3)＝C34C39＝121.∴X的分布列为X0123P5421021514121“课后演练提能”见“课时跟踪检测(六十七)”(单击进入电子文档)谢谢观看