高考数学(理)大一轮复习精讲课件计数原理与概率随机变量及其分布第八节n次独立重复试验与二项分布

第八节n次独立重复试验与二项分布基础盘查一条件概率(一)循纲忆知了解条件概率PB|A＝PABPA.(二)小题查验1．判断正误(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)()√×2．(人教A版教材例题改编)一张储蓄卡的密码共有6个数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过2次就按对的概率为___．253．设由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”,用B表示“第一位数字为0的事件”,则P(A|B)＝_____.解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝12，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝12×12＝14，所以P(A|B)＝PABPB＝1412＝12.12基础盘查二相互独立事件(一)循纲忆知了解两个事件相互独立事件的概率．(若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B))(二)小题查验1．判断正误(1)若条件A与B独立，则A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．()(2)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．()√√2．(人教B版教材例题改编)甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是0.6，则至少有一人投中的概率为_____．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是_____．0.84712基础盘查三独立重复试验与二项分布(一)循纲忆知1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．2．能解决一些简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布()(2)在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为Cknpk()√×2．(人教A版教材例题改编)某射手每次射击击中目标的概率是0.8，这名射手在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为_____.0.683．某光电公司生产的节能灯使用寿命超过30000小时的为一级品，现已知某批产品中的一级品率为0.2，从中任意抽出5件，则5件中恰有2件为一级品的概率为________．解析：由题意得，其概率P＝C250.22(1－0.2)3＝0.2048.0.2048考点一条件概率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．设A，B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率．公式P(B|A)＝PABPA既是条件概率的定义，也是条件概率的计算公式．2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．[题组练透]1．(2015·丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于()A．12B．14C．16D．18解析：由古典概型知P(A)＝12，P(AB)＝14，则由条件概率知P(B|A)＝PABPA＝1412＝12.2．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是素数点的情况下，第二次抛出的是合数点的概率为()A．1B．12C．13D．14解析：设事件A：第一次抛出的是素数点，事件B：第二次抛出的是合数点，则P(B|A)＝PABPA＝12×1312＝13.3．(2015·唐山统考)如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝()A．334πB．32πC．13D．23解析：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，故P(N|M)＝69＝23.条件概率的求法[类题通法]先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA，求P(B|A)；(1)定义法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.(2)基本事件法：考点二相互独立事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(“AB”也可记为“A∩B”)．2．若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1，A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．事件A，B相互独立，则A－与B－，A与B－，A－与B也相互独立．[一题多变][典型母题]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解]记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×34×1－13＋25×1－34×13＋1－25×34×13＝2360.3人中只有1人被选中的概率P3＝P(ABC∪ABC∪ABC)＝25×1－34×1－13＋1－25×34×1－13＋1－25×1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.[题点发散1]甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．求三人均未被选中的概率．解：法一：三人均未被选中P＝P(ABC)＝1－25×1－34×1－13＝110.法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为910，∴P＝1－910＝110.[题点发散2]若本例条件“3人能被选中的概率分别为25，34，13”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为1120，两人都被选中的概率为310,丙被选中的概率为13”,求恰好有2人被选中的概率．解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝1120，①P(A)P(B)＝310，②由①②知P(A)＝25，P(B)＝34，故恰有2人被选中的概率P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝2360.[类题通法]求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点三独立重复试验与二项分布(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．独立重复试验独立重复试验是指在相同的条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每次试验只有两种结果，即或发生，或不发生，且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的．2．二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．[典题例析]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解：令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B5，45，故其分布列为P(X＝k)＝Ck545k1－455－k(k＝0,1,2,3,4,5)．(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C25×452×1－453＝10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05×450×1－455－C15×45×1－454＝1－0.00032－0.0064≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C14×45×1－453×45≈0.02.[类题通法]二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．[演练冲关]已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n＝3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？解：(1)当n＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P＝3×2C25＝35.P(X＝0)＝C03253＝8125；P(X＝1)＝C13·35·252＝36125；P(X＝2)＝C23352·25＝54125；P(X＝3)＝C33·353＝27125.X的分布列为X0123P8125361255412527125(2)设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(X＝2)＝C23·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，P′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，知在0，23上P为增函数，在23，1上P为减函数，当p＝23时，P取得最大值．所以p＝C1nC12C2n＋2＝23，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.“课后演练提能”见“课时跟踪检测(六十八)”(单击进入电子文档)谢谢观看