高考数学一轮单元复习第46讲_椭圆

1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做。这两个定点F1、F2叫做椭圆，两焦点间的距离叫做椭圆的.椭圆的定义用符号语言表示：2.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：(ab0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0).(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：(ab0)，焦点F1(0，－c)，F2(0，c).│知识梳理知识梳理焦距x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1椭圆焦点122MFMFa12FF│知识梳理其中a，b，c几何意义：a表示长轴长的一半，b表示短轴长的一半，c表示焦距长的一半.并且有a2＝b2＋c2.3.椭圆的简单几何性质，以x2a2＋y2b2＝1(ab0)为例.(1)范围：；(2)对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：O(0，0)；(3)顶点：，，长轴长，短轴；(4)离心率，0e1.e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁.,xaybA1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)122AAa122BBbcea│要点探究要点探究►探究点1椭圆定义的应用例1[2008·上海卷]某海域内有一孤岛，岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界)，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计)，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是________．│要点探究【思路】把空间问题转化为平面问题，寻找点M在平面中适合的条件．【解答】如图46－1，依题意，|MF1|＋|MF2|≤2ah1tanθ1＋h2tanθ2≤2a.【答案】h1tanθ1＋h2tanθ2≤2a│要点探究【点评】椭圆x2a2＋y2b2＝1内的点P(x，y)适合的条件是：x2a2＋y2b21；椭圆x2a2＋y2b2＝1外的点P(x，y)适合的条件是：x2a2＋y2b21.椭圆的定义结合三角函数以及三角形的相关知识是常考考点，如2009高考上海卷：│要点探究变式题[2009·上海卷]已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【答案】31PF2PF│要点探究【解析】依题意，有|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|·|PF2|＝18，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.│要点探究►探究点2椭圆标准方程的求解例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3，0)，求椭圆的方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，求椭圆的方程.【思路】题目没有说明长轴所在的位置，解题时要分类讨论，设出椭圆方程，利用待定系数法求解.│要点探究【解答】(1)若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).∵椭圆过P(3，0)，∴32a2＋02b2＝1，∴a＝3.又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为x29＋y2＝1，若焦点在y轴上，设方程x2a2＋y2b2＝1(ab0).∵椭圆过点P(3，0)，∴02a2＋32b2＝1，∴b＝3.又2a＝3×2b＝18，∴a＝9，∴方程的y281＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.│要点探究(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程，代入得解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.61321mnmn【点评】求解椭圆的标准方程即确定a.b的值，需要根据已知条件确定两个独立的方程.求解时要注意：(1)依据长轴所在的位置确立合适的方程形式，不能确定的要进行分类讨论；(2)当椭圆过两个已知点时，可以直接设为mx2＋ny2＝1的形式，可以简化运算.│要点探究│要点探究►探究点3椭圆的几何性质的应用例3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴右端点、短轴上端点分别为A、B，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围.【思路】根据点M到x轴的距离构建关于a，b，c的关系式，求得离心率；结合椭圆的定义和余弦定理求得角的取值范围.│要点探究【解答】(1)由题意可得，kAB＝kOM，又因为直线AB的斜率k＝－ba，所以直线OM的方程为：y＝－bax.又得|MF1|＝bca，从而得到b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，∴e＝ca＝22.(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝222121242rrcrr│要点探究＝(r1＋r2)2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈2212102arr0,2【点评】(1)求离心率常借助于椭圆的定义，图形中直线的位置关系，题目中所给的具体数值，探求a、b、c之间的关系，结合a2＝b2＋c2这一条件直接求解或者转化为关于e＝的一元二次方程求解，依据离心率的范围进行根的取舍；(2)注意椭圆的定义在研究椭圆性质中的应用.如解下面变式题时椭圆的定义、离心率和向量的综合应用.│要点探究ca│要点探究变式题[2009·浙江卷]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.122APPB【解答】D对于椭圆，因为，则OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝12.2APPB(2009·重庆高考)已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使则该椭圆的离心率的取值范围为________．利用正弦定理得|PF1|、|PF2|的关系，结合定义可得|PF2|，再根据焦点弦长的最大最小值建立不等关系.【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知①又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e＜＜1＋e，【答案】(－1,1)即|PF1|=e|PF2|.│要点探究►探究点4椭圆的综合应用例4[2009·安徽卷]点P(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，x0＝acosβ，y0＝bsinβ，0βπ2.直线l2与直线l1：x0a2x＋y0b2y＝1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.(1)证明：点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1与直线l1的唯一交点；(2)证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．│要点探究【解答】(1)由x0a2x＋y0b2y＝1得y＝b2a2y0(a2－x0x)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋b2x20a4y20x2－2b2x0a2y20x＋b2y20－1＝0.将x0＝acosβ，y0＝bsinβ代入上式，得x2－2acosβ·x＋a2cos2β＝0，从而x＝acosβ.│要点探究因此，方程组x2a2＋y2b2＝1，x0a2x＋y0b2y＝1，有唯一解x＝x0，y＝y0，即直线l1与椭圆有唯一交点P.(2)tanα＝y0x0＝batanβ，l1的斜率为－x0b2y0a2，l2的斜率为tanγ＝y0a2x0b2＝ab＝tanβ，由此得tanαtanγ＝tan2β≠0，tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．(2010·厦门模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形．若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A、B，且(1)求椭圆C的方程；(2)求实数m的取值范围．(1)待定系数法易求．(2)利用建立k、m关系，根据Δ建立不等式可求m范围．【解】(1)依题意a=1，b=c，∴b2=，∴所求椭圆C的方程为2x2＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋m，消去y得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，Δ＝4k2m2－4(k2＋2)(m2－1)＝－4(2m2－k2－2)＞0，∴2m2－k2－2＜0，x1＋x2＝∵设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴x1＝－3x2，消去x1得消去x2得3k2m2＝(k2＋2)(1－m2)，∴k2＝∴2m2－－2＜0⇒(m2－1)(4m2－1)＜0，∴m∈11(1,)(,1).22│规律总结规律总结1.注意对椭圆定义的理解，定义中与两个定点F1、F2之间的距离的和等于常数.当2a|F1F2|时，动点的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.2.在对椭圆的方程和几何性质的研究中，涉及字母a，b，c，e四个基本量，注意这些量的几何意义及它们之间的数量关系.求椭圆的离心率或求离心率的范围，基本思路方法一致，就是通过已知条件寻找a，c的等量关系或不等关系，解方程或不等式.│规律总结3.求椭圆的方程基本方法有定义法、待定系数法、相关点代入法、直接法、参数法、几何法等.其中定义法和相关点代入法用的频率更高.4.求最值问题是高考的重点也是热点，解题方法可以分两大类：函数法和数形结合法.求函数的最值往往用到函数的单调性、基本不等式等；数形结合法需要掌握好一些基本初等函数的图象.