高考数学中数学思想方法的研究与启示以分类整合为例

1高考数学中数学思想方法的研究及启示——以分类整合为例摘要数学思想方法是数学的灵魂，通过表述数学思想方法的意义，揭示了研究其的必要性．为了研究高中典型数学思想方法在高考数学题中体现的类型、形式、方式、程度等，在理论分析的基础上，做了实证研究．本文主要对高中典型数学思想方法加以分析，了解近10年来数学思想方法在高考数学试卷中的应用体现情况，并对其作大致的划分．通过以上研究，对教学产生启示作用．关键词数学思想数学高考分类与整合启示引言在新课改的浪潮中，注重能力考查已成为高考命题中的核心课题．数学教育要立足于人的潜能和综合素质的提高，立足于人的终身发展的需要，不再是仅限于数学知识的获得、解题技巧的掌握，更重要的是数学能力、思想观念的形成和健全人格的养成．但如何才能提高学生的数学能力、思想观念又成为一大难题．近几年来高考数学题目日渐新颖，提高了对解决问题的能力要求，增加思考量，控制计算量．这样的试题，不同于知识型的试题，没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以入手，但这样的试题有利于考查学生进入高校进一步学习的潜能．只有在牢固掌握数学知识、数学概念的基础上，进一步深刻领会数学的本质及内涵即抽象程度更高的数学思想方法才能解决，这些数学思想和方法就蕴藏在教材和习题中，需要仔细发掘．因此，本文在这种背景下，对从2010年以来的高考数学试卷中所蕴含的数学思想方法进行研究，显得十分必要．一、数学思想方法简介1．数学学习与数学方法数学的发展过程大体上可概括为三个阶段：创新过程阶段、理论建立阶段、应用阶段．数学学科的发展过程决定了数学学习活动应该是始于对具体问题或具体素材的观察、实验，并在此基础上进一步通过比较、分析、综合和归纳、类比，去探索研究对象的本质特征，再经过抽象、概括、逻辑论证，得出一类事物的一般规律，给出解决问题的一般方法．在这个过程中，除了学习观察、实验、比较、分析、归纳、类比等一般的科学方法外，还在学习符号化、功理化、模型化、划归、数形结合等数学特有的思想方法，以及各科的思想方法，如极限的思想方法、用变化群划分几何学的思想方法、统计的思想方法等．数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括，是对数学内容的本质认识，是数学的指导思想和一般方式、手段和途径．因此，数学思想方法的学习和领悟会使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式，它能帮助学生形成有序的知识链，为学生构建良好的认知结构起到十分重要的基础作用．2．研究数学思想方法的目的意义数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．因此，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水平，正真懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一．可以说，数学上的发现、发明主要是方法上的创新．典型的例子是伽罗瓦开创了置换群的研究，用群论方法确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式代数方程根式解得难题．另外，解析几何的创立解决了数形沟通和数形结合及其互相转换的问题．对应的思想方法解决了无穷集元素“多少”的比较问题，可把无穷集按“势”（或基数）分成不同的“层次”，等等．从中可以体会到，有了方法才是获得了“钥匙”，数学的发展绝不仅近是材料、事实、知识的积累和增加，必须有新的思想方法的产生，才2能有创新，才会有发现和发明．因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．从微观意义上来说，在数学教学和数学学习中，要再现数学的发展过程，揭示数学思维活动的一般规律和方法．只有从知识和思想方法两个层面上去教和学，使学生从整体上、从内部规律上掌握系统化的知识，以及蕴含于知识中以知识为载体的思想方法，才能形成良好的认知结构，才能有助于学生的主动建构，才能提高学生洞察事物、寻求联系、解决问题的思维品质和各种能力，最终达到培养现代社会需要的创新型人才的目的．二、数学思想方法在福建高考中的体现程度近年来，在课改的深入发展中，高考数学试题对数学思想方法的考查越来越重视，目的在于考查学生运用数学思想方法解题的意识．下面结合2013年高考数学福建理科卷对其数学思想方法的考查试作分析．1.函数与方程思想函数思想体现的是变量运动的观点，用来研究数量关系；方程思想体现变量之间的等量关系．因为函数问题与方程问题是相通的，因此我们往往通过函数与方程的思想来处理变量之间的关系)高考对学生素养考查有以下三个层面．一是知识层面：学生能将函数方程思想看做知识；二是能力层面：学生能运用函数方程思想相关能力解题；三是素质层面：学生能在情境中，通过函数与方程思想解决问题．表12013年高考数学福建卷理科试题对函数与方程思想的考查思想方法类型选择填空题解答题方程思想列方程，解方程3、4、5、6、1320设变量，列方程，解方程14、1517、18函数思想利用函数思想817构造函数1020表1说明，全卷21道题中，有一半以上考查函数与方程思想，第8、10、15、17、20题重点考查函数与方程思想．例1.(2013年福建理10)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数()yfx满足①{()}TfxxS；对任意12,xxS，当12xx时，恒有12()()fxfx，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）*.,AANBN.{13},{8,010}BAxxBxxx或.{01},CAxxBR.,DAZBQ分析：立足于函数的三要素：定义域，值域，对应法则．同时考查函数的单调性，利用函数思想构造函数．选项A：构造函数()1fxx；选项B：构造函数5513,()228(1).xxfxx选项C：构造函数1()tan()2fxx．故选D．2.数形结合思想数形结合思想体现以“形”辅“数”以“数”解“形”,“数”与“形”的转化．通过数与形的转化，达到把复杂问题简单化，抽象问题具体化，“以形辅数”，通过图形的直观解决问题．“以数解形”，通过数量关系，刻画图形的位置和性质．3表22013年高考数学福建卷理科试题对属性结合思想的考查思想方法类型选择填空题解答题数形结合思想以行辅数7、8、11、1417、20、21以数解行12、1318、19经统计，全卷有12道题考查数形结合思想．“以行辅数”充分发挥图形的直观作用，“以数解行”运用严密的逻辑推理，得到精确的数量关系．例2.（2013年福建理8）：设函数()fx的定义域为R，00,(0)xx是()fx的极大值点，以下结论一定正确的是（）0.,()()AxRfxfx0.Bx是()fx的极小值点0.Cx是()fx的极小值点N0.Dx是()fx的极小值点分析：观察0x与0x的对称关系，()fx与()fx的图像关于y轴对称；()fx与()fx关于x轴对称；()fx与()fx的图像关于原点对称．因此，由0x是()fx的极大值点可知A错，0x是()fx的极大值点可知B错，0x是()fx的极小值点，0x与()fx无确定关系可知C错，0x是()fx的极小值点故D正确．本题对数形结合思想考查有相当的深度和广度，对于抽象函数，利用图像的对称性，起到直观的作用，使问题的处理一目了然，充分体现了运用数形结合思想解题的效果．3.转化与划归思想“数学处处要转化”，化归与转化体现在化难为易，化生为熟，化繁为简，化抽象为具体，从而及解决问题．包含正与反的转化，一般与特殊的转化，空间与平面的转化，繁与简的转化，数与形的转化．有句俗话说得好：解题不可怕，只要会转化．表32013年高考数学福建卷理科试题中化归与转化思想的考查数学思想选择填空题解答题1化归与转化思想1、2、3、5、6、8、9、10、11、1517、18、19、20、21表3说明全卷中的每一道试题都离不开化归与转化，名副其实的数学处处是转化．例3.（2013年福建理18）在正方形OABC中，O为坐标原点，点A坐标为(10,0)．点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和OB十等分，分点分别记为129,,AAA和129,,BBB，连结144xx；过iA做x轴的垂现与iOB交于点iP（*,19iNi）（Ⅰ）求证：iP（*,19iNi）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程．（Ⅱ）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为4:1，求直线l的方程．分析：这道解析结合体现了“形”的问题转化为“数”的问题，“点”转化为坐标，“直线”转化为方程，曲线转化为方程，“点在曲线上”转化为“点的坐标满足曲线方程”，第（Ⅱ）问，把OCM与OCN的面积比为4:1转化为11(,)Mxy，22(,)Nxy的横坐标之间的关系：144xx．本道题充分体现了化归与转化思想，也涉及到数形结合思想、函数与方程思想、充分体现了运用数学思想方法解题的素养．44．分类与整合思想分类与整合思想体现，体现“合—分—合”的解题策略．表42013高考数学福建卷理科试题中对分类与整合思想的考查数学思想选择填空题解答题分类与整合思想517、19、205．必然与或然思想必然与或然思想体现在以概率统计为主线，如：抽样思想，统计推断思想，随机思想等．表52013高考数学福建卷理科试题中对必然或或然思想的考查数学思想选择填空题解答题必然与或然6、8、9、10、15186.一般与特殊思想在解决问题时可以由特殊问题一般化，也可以由一般问题特殊化．如构造特殊函数，特殊数列，特殊方程，图形中的特殊点，特殊位置，参数的特殊值，等等．在合情推理与演绎推理中也体现一般与特殊的思想．表62013高考数学福建卷理科试题中对一般与特殊思想的考查数学思想选择填空题解答题一般与特殊思想6、8、9、10、1518高考对数学思想的考查贯穿全卷，以主干知识为主线，以数学思想为灵魂．对考生进行全方位的考查，重点考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想，数学思想方法的掌握情况能很好地体现学生的能力层次．题型多样化，有涉及选择题，填空题，解答题．难度有大有小，大部分压轴题都综合考查多个数学思想，可以说从头到尾整套试卷都渗透着数学思想方法的考查．三、分类整合思想方法1.分类整合方法的含义在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这就是分类整合的思想方法．分类思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合-分-合”的解决问题的过程，就是分类整合的思想方法.分类也叫划分，是根据对象的相同和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，数学中的分类，是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法．分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统．分类具有三个要素：①母项，即被划分的对象；②子项，即划分后所得的类概念；③根据，即划分的标准．分类整合方法一般遵循以下基本原则：（1）不重复：对母项进行分类后得到的所有子项必须互相排斥，各个子项概念的外延之间是不相容的关系．从集合的角度看，被分成的任何两类之间不相交，即无公共元素．不重复，即要求分类应是纯粹的．（2）无遗漏：经分类所得的各子项之和必须与被分类的母项正好相等．从几何的角度来看，分类后所得各概念(子项)的并集应等于被分概念(母项)外延的全集．否则会出现过宽或过窄的逻辑错误．无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少．（3）标准统一：在一次分类中只能根据同一标准．否则就会出现