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1§5.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb23.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(×)(4)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．(√)(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)2．(2012·四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|答案C解析a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选项易知C满足题意．3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→答案A解析由2OA→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→＝OD→.4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．答案－2解析如图所示，由AP→＝λPD→，且PA→＋BP→＋CP→＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP→＝－2PD→，则λ＝－2.5．设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．答案－1解析∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.即2＝2λp＝－λ，∴p＝－1.3题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．思维启迪正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键．答案②③解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.故“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．4②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．题型二平面向量的线性运算例2(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→(2)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c思维启迪结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．答案(1)D(2)A解析(1)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选D.(2)∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．5(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→(2)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝0答案(1)A(2)B解析(1)由2AC→＋CB→＝0得2AO→＋2OC→＋CO→＋OB→＝0，∴OC→＝－2AO→－OB→＝2OA→－OB→.(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，故PA→＋PC→＝0.题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．思维启迪解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13b6C.12a＋14bD.13a＋23b(2)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0答案(1)B(2)D解析(1)如图，AF→＝AD→＋DF→，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，∴DF→＝13AB→，∴AF→＝12a＋12b＋13(12a－12b)＝23a＋13b.(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴λ1＋1＝0λ2＝－1，即λ1＝－1λ2＝－1，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.思维启迪(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM→能用a、b表示，那我们不妨设出OM→＝ma＋nb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．规范解答解设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.[3分]又∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴存在实数t，使得AM→＝tAD→，7即(m－1)a＋nb＝t－a＋12b.[5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋12tb.∴m－1＝－tn＝t2，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]又∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴CM→与CB→共线．[10分]∴存在实数t1，使得CM→＝t1CB→，∴m－14a＋nb＝t1－14a＋b，∴m－14＝－14t1n＝t1，消去t1得，4m＋n＝1.②由①②得m＝17，n＝37，∴OM→＝17a＋37b.[12分]温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是