高考数学第二章第10讲

第10讲函数模型及其应用第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性________________________增长速度________________相对平稳图象的变化随x值增大，图象与______接近平行随x值增大，图象与______接近平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(必修1P107习题3.2A组T3改编)一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()B栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2xA栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]C栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，x40＝40－y40，所以y＝40－x.因为xy≥300，所以x(40－x)≥300，所以x2－40x＋300≤0，所以10≤x≤30.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．考点一一次函数与二次函数模型(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2016·湖北省教学合作高三联考)据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)由图象可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.当t＝4时，v＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12×t×3t＝32t2；当10t≤20时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20t≤35时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用综上可知，s随t变化的规律是s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈（10，20]，－t2＋70t－550，t∈（20，35].(3)当t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150650，当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450650，当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用把实际问题数学模型化一定要过好三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.(2016·郑州模拟)设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x，盈利额为y元．(1)求y与x之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)根据题意，当购票人数不多于100时，可设y与x之间的函数关系为y＝30x－500－kx(k为常数，k∈R且k≠0)，因为人数为25时，该旅游景点收支平衡，所以30×25－500－k25＝0，解得k＝50.所以y＝30x－50x－500，x∈N*，x≤100，30x－50x－700，x∈N*，x100.(2)设每张门票价格提高为m元，根据题意，得m×20－5020－500≥0，所以m≥25＋55≈36.2，故每张门票最少要37元．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用考点二函数y＝x＋ax(a0)模型某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y1＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝300x＋3x＋303(x≥25)．令f(x)＝300x＋3x(x≥25)，因为f′(x)＝－300x2＋3，所以当x≥25时，f′(x)0，即函数f(x)与y2在x≥25时是增函数．所以当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.因为390417，所以该厂应考虑利用此优惠条件．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型.(2)对于y＝x＋ax(a0，x0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2（6x＋10）8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为()A．y＝3601.041.012x－1B．y＝360×1.04xC．y＝360×1.04x1.012D．y＝3601.041.012x考点三指数函数模型D栏目导引知能训练轻松闯关典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析]设该乡镇现在人口量为M