高考数学解题错误成因分析与应对策略

1高考数学解题非智力因素失误的成因分析与应对策略高考是人生一件大事，在高考中取得数学科目的高分是莘莘学子梦寐以求的事，为此不少的学生做出十几年艰苦奋斗，但是在历年的高考中还是有些数学得很好的同学考出不满意的成绩，不能很好地展现个人的才华，造成人生第一次，第大憾事。是什么原因造成这些考生的终生遗憾，这是本课研究的主题，怎样有效地避免类似的悲剧在高考中重演则是本课要达到的目标。一．数学解题错误的特征解题错误是数学过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也考生学习水平、身体与心理状况有关。数学解题错误既有个性又有共性，据统计数学错误有一定的规律性。1．1主观盲动性：数学解题是主体感受并处理数学信息的创造性的思维过程。部分考生末切题意，加之高考求胜心切，凭个人的经验盲目做题，以至于出现主观认识错误和限入主观思维定势，造成的主观盲动性错误和解题思维障碍。1．2漏洞隐蔽性：数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯有着决定性的作用。个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生是很难发现的，考生本人还处我感觉很好。这是思维跳跃度大和平时解题不写过程的考生的共同特点。（是聪明人犯的愚蠢的错误）1．3错误可避性：解题错误是在数学解题过程中形成的，是数学认识过程中的正常现象。因此高考数学解题中的错误也是可以避免的。所谓“吃一堑长一智”，就是说我们要增强数学解题过程中的错误警戒意识，养成严谨的数学思维习惯，并构建数学解题过程中常见性错误的“错题库”1．4形式多样性：数学解题错误形式多样性是由数学知识的广泛性和个体思维的不确定性决定的。一般来说考生有解题错误有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误、策略性的错误。二．数学解题失误的形式2.1基本概念数学特征不明1.曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm的(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同2.若(0,)方程22cos1xy表示的曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线2.2策略性错误策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或指一种策略明显增加了过程2的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决。主要有：①方法不当，②不能正确转化问题或运用模式。（消除策略性错误的应对策略是：后期复习注意归类总结，对基础题中档题形成模式化解法）3．过圆∴224xy外一点M（4，-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为析：440xy，错误的思路是先找切点而后再直线方程，造成了很大的计算量。4．对正整数n,设抛物线y2=2(2n+1)x,过点P(2n,0)作直线交抛物线于,nnAB两点，则数列291)nnOAOBn的前n和=。(1)nn2.3阅读理解失误【错误形式1】忽视隐含条件，导致结果错误。5.设、是方程0622kkxx的两个实根，则22)1()1(的最小值是不存在)D(18)C(8)B(449)A(析：误了A，应注意∴0)6k(4k42.3k2k或思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2kk.449)43(42)(22)(1212)1()1(222222k有的学生一看到449，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根、，∴0)6k(4k42.3k2k或当3k时，22)1()1(的最小值是8；当2k时，22)1()1(的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。6.已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范围。3错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+38)2+328，∴当x=－83时，x2+y2有最大值283，即x2+y2的取值范围是(－∞,283]。分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+y24=1(x+2)2=1－y24≤1－3≤x≤－1，从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴x2+y2的取值范围是[1,283]。注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。7.已知椭圆E：22143xy的两个焦点分别为1F、2F，若点P在椭圆E上，且满足12PFPFt，求实数t的取值范围．8.在函数y=x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是A.3B.2C.1D.0析：（忽视了倾角的定义与斜率之间的关系，即导数限制条件是：22803813,3xxxZx）9.在极坐标系中，从极点O作圆8sin的弦ON，则ON的中点的轨迹方程是析：4sin，错误原因是写成了直角坐标系内的方程2240xyy10．直线1xy与圆2220(0)xyaya没有公共点，则实数a取值范围是（）A．(0,21)B．(21,21)C．(21,21)D．(0,21)析：应选A，忽视了0a，错误地选取了C。11．设O（0，0）A（1，0），B（0，1）P是线段AB上的一个动点，APAB若OPABPAPB则实数取值范围是（）A．1[,1]2B．2[11,1]2C．12[,1]22D．22[1,1]22析：忽视了点P在线段AB上应满条件01，错选了D，应选B12．已知{（x,y）|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形的面积是析：只重平行，忽视重合，忘舍了m=44【错误形式2】忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。13．已知：a0,b0,a+b=1,求(a+1a)2+(b+1b)2的最小值。错解(a+a1)2+(b+b1)2=a2+b2+21a+21b+4≥2ab+ab2+4≥4abab1+4=8,∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是8.分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+21a+21b+4=(a2+b2)+(21a+21b)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a1+b1)2－ab2]+4=(1－2ab)(1+221ba)+4，由ab≤(2ba)2=41得：1－2ab≥1－21=21,且221ba≥16，1+221ba≥17，∴原式≥21×17+4=225(当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a+a1)2+(b+b1)2的最小值是252。14．曲线214yx，与直线(2)ykx有两个公共点，则实数k取值范围是（）A.5(0,)12B.13(,)34C.5(,)12D.53(,]124析：错选C，错因化一元二次方程求解，忽视了函数214yx的特点，解题策略不当，应注意数形结合，用直线和圆珠笔的位置关系求解。【错误形式3】重视一般性，忘记特殊性15.求过点)1,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误：5第一，设所求直线为1kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1kxy)0(k,则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得k=12,∴所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121,0,1xyxy16．已知函数21()3fxaxax的定义域为R，则实数a取值范围是（）A．13aB．120aC．120aD．13a析：应选C，错误原因是只把分母看成二次函数研究，而忽视了0a情况。【错误形式4】以偏概全，错将特殊当一般17．设等比数列na的全n项和为nS.若9632SSS，求数列的公比q.错误解法,2963SSSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，.012(363）＝整理得qqq1q24q,0)1q)(1q2(.01qq20q33336或得方程由。错误分析在错解中，由qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，01qq2(q363）＝整理得时，应有1q0a1和。6在等比数列中，01a是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1q的情况，再在1q的情况下，对式子进行整理变形。正确解法若1q，则有.9,6,3191613aSaSaS但01a，即得,2963SSS与题设矛盾，故1q.又依题意963S2SSqqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(91613101qq2(q363）＝,即,0)1)(12(33qq因为1q，所以,013q所以.0123q解得.243q说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。【错误形式5】忽视分类讨论，或分类不全18．已知数列na的前n项和12nnS，求.na错误解法.222)12()12(1111nnnnnnnnSSa错误分析显然，当1n时，1231111Sa。错误原因：没有注意公式1nnnSSa成立的条件是。因此在运用1nnnSSa时，必须检验1n时的情形。即：),2()1(1NnnSnSann。19．实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。错误解法将圆012222aaxyx与抛物线xy212联立，消去y，得).0(01)212(22xaxax①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得.01021202aa，解之得.817a（如图2－2－1；2－2－2）显然，当0a时，圆与抛物线有两个错误分析公共点。xyO图2－2－1xyO图2－2－27要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程①有一正根、一负根时，得.0102a解之，得.11a因此，当817a或11a时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。思考题：实数a为何值时，