向量与椭圆

向量问题例1：已知1F，2F椭圆13610022yx的两个焦点，P(00,yx)为椭圆上一点，当21PFPF0时，0x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.。例2：已知ji,是x,y轴正方向的单位向量，设a=jyix)3(,b=jyix)3(,且满足|a|+|b|=4.⑴求点P(x,y)的轨迹C的方程.⑵如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1)的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。解：(1)a=jyix)3(,|b|=jyix)3(,且|a|+|b|=4.点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为1422yx(2)设A(11,yx),B(22,yx)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得0448522mmxx，则1x+2x=-58m,1x2x=)1(254m因此，225221)5(mmdABSAOB当225mm时，即m=210时，1maxS例3：已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4.离心率为32.（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段AB所成的比为2，求线段AB所在直线的方程.解：（1）设椭圆方程为)0(12222babxay，由2c=4得c=2，又.32ac故5,3222caba，∴所求的椭圆方程为.15922xy（2）若k不存在，则2MBAM，若k存在，则设直线AB的方程为：2kxy，又设),(),(2211yxByxA.由159222xykxy得02520)59(22kxxk,2592021kkxx①，2215925kxx②∵点M坐标为M(0，2)，∴)2,()2,(2211yxMByxAM，由MBAMMBAM22得，∴)2,(2)2,(2211yxyx，∴212xx代入①、②得259202kkx③，22259252kx④.由③、④得222592559202kkk，∴33,312kk∴线段AB所在直线的方程为：.233xy例4：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c,0）(c＞0)的准线l与x轴相交于点A,.2FAOF，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；(Ⅱ)若,0OQOP，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设)1(AQAP，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：.FQFM[简解](Ⅰ)椭圆方程为12622yx,离心率.36e(Ⅱ)略.(Ⅲ)[证明]设P（x1,y1）,Q(x2,y2),又A（3，0），),3(),,3(2211yxAQyxAP由已知得方程组：2121),3(3yyxx；.126;12622222121yxyx注意λ＞1，消去x1、y1和y2得.2152x因F（2,0）,M（x1,－y1），故).,21(),21(),1)3((),2(211211yyyxyxFM而).,21(),2(222yyxFQ所以FQFM.课后练习：1、已知P是以F1、F2为焦点的椭圆12222byax（ab0）上一点，若021PFPF，tanPF1F2=21，则椭圆的离心率为（）A．21B．32C．31D．351．D设c为椭圆半焦距，∵021PPF，∴21PFPF，又tan2121FPF，∴21||||2||||)2(||||122122221PFPFaPPFcPFPF，解得：35,952aceac.选D.2、已知椭圆方程1422yx，过B（－1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分CD的比分λ1、λ2．求证：λ1＋λ2＝03、设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为33，过点C(1,0)的直线交椭圆E于A、B两点，且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.3、解：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0)，直线方程为myx1，CBAoyx由222x3ytmyx1得：22(2m3)y4my2t0，设1122A(x,y),B(x,y)，则1224myy2m3…………①又CA2BC，故1122(x1,y)2(1x,y)，即12y2y…………②由①②得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS|yy|6||22m3＝66322|m||m|，当23m2，即6m2时，AOB面积取最大值，此时2122222t32myy2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10.4、如图，已知椭圆)0(15106:222mmyxC，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点.（1）是否存在k，使对任意m0，总有ONOBOA成立？若存在，求出所有k的值；（2）若)4(213mmOBOA，求实数k的取值范围.4、（1）椭圆mmmcmymxC222222222325,12325:，即c=m.∴F(m，0)，直线)(:mxyAB，)0(15106)(222mmyxmxky，即0151020)610(222222mmkmxkxk，设),(,),(2211yxByxA，则6101510,610202222212221kmmkxxkmkxx，设),(mmyxM，则6106)(,61010222221kkmmxkykmkxxxmmm.若存在k，使ONOBOA，M为ON的中点，∴OMOBOA2，∴61012,61020)2,2(222kkmkmkyxOBOAmm，即N点坐标为61012,61020222kkmkmk，由N点在椭圆上，则222222156101210610206mkkmkmk，即032524kk，∴53122kk或（舍去），故存在ONOBOAk使1.（2）))((212212121mxmxkxxyyxxOBOA610)15(610206101510)1()()1(222222222222222212212kkmmkkmkmkkmmkkmkxxmkxxk由)4(21610)15(3222mmkkm，得2)4(21610)15(22mmkk，即.07777,71,122015222kkkkk且