概率论与数理统计练习题集及答案

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次，以iA表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（）（A）321AAA（B）323121AAAAAA（C）321321321AAAAAAAAA（D）321AAA2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（）（A）365（B）364（C）363（D）3623．设随机事件A与B互不相容，且0)(,0)(BPAP，则（）（A）)(1)(BPAP（B）)()()(BPAPABP（C）1)(BAP（D）1)(ABP4．随机变量X的概率密度为000)(2xxcexfx，则EX（）（A）21（B）1（C）2（D）415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（）（A）xxxF,11)(21（B）0001)(2xxxxxF（C）xexFx,)(3（D）xxxF,arctan2143)(46．已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令XY2，则Y的概率密度)(yfY为（）（A）)2(2yfX（B）)2(yfX（C）)2(21yfX（D）)2(21yfX7．已知二维随机向量),(YX的分布及边缘分布如表hgpfedxcbaxpyyyXYYjXi61818121321，且X与Y相互独立，则h（）（A）81（B）83（C）41（D）318．设随机变量]5,1[~UX，随机变量)4,2(~NY，且X与Y相互独立，则)2(YXYE（）（A）3（B）6（C）10（D）129．设X与Y为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若EYEXEXY，则下列结论不正确的是（）（A）X与Y相互独立（B）X与Y不相关（C）0),cov(YX（D）DYDXYXD)(答案：1.B2.A3.D4.A5.B6.D7.D8.C9.A1．某人射击三次，以iA表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（C）（A）321AAA（B）323121AAAAAA（C）321321321AAAAAAAAA（D）321AAA2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（A）（A）2242（B）2412CC（C）24!2A（D）!4!23．设随机事件A与B互不相容，且0)(,0)(BPAP，则（D）（A）)()|(APBAP（B）)()()(BPAPABP（C）)()()|(BPAPBAP（D）0)|(BAP4．随机变量X的概率密度为其他0),0(2)(axxxf，则EX（A）（A）32（B）1（C）38（D）3165．随机变量X的分布函数000)1()(xxexAxFx，则A（B）（A）0（B）1（C）2（D）36．已知随机变量X的概率密度为)(xfX，令XY3，则Y的概率密度)(yfY为（D）（A）)3(3yfX（B）)3(yfX（C）)3(31yfX（D）)3(31yfX7．已知二维随机向量),(YX的分布及边缘分布如表hgpfedxcbaxpyyyXYYjXi61818121321，且X与Y相互独立，则e（B）（A）81（B）41（C）83（D）318．设随机变量YX,相互独立，且)5.0,16(~bX，Y服从参数为9的泊松分布，则)12(YXD（C）（A）-14（B）13（C）40（D）419．设),(YX为二维随机向量，则X与Y不相关的充分必要条件是（D）（A）X与Y相互独立（B）EYEXYXE)(（C）DYDXDXY（D）EYEXEXY一、填空题1.设A,B是两个随机事件，5.0)(AP，8.0)(BAP，)1(若A与B互不相容，则)(BP=；)2(若A与B相互独立，则)(BP=.2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为.3.设离散型随机变量X的概率分布为kakXP3，,2,1k，则常数a.4.设随机变量X的分布函数为2,120,0,0)(2xxaxxxF则常数a，}31{XP=.5.设随机变量X的概率分布为X-101P0.30.50.2则)33(2XE=.6.如果随机变量X服从],[ba上的均匀分布，且3)(XE，34)(XD，则a=，b=.7.设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数为6.0的10分布，则}{YXP=.8.设X，Y是两个随机变量，2)(XE，20)(2XE，3)(YE，34)(2YE，5.0XY，则)(YXD=.答案：1.3.0，6.02.313.414.41，435.5.46.1，57.0.528.211.设A,B是两个随机事件，3.0)(AP，)()(BAPABP，则)(BP=.2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为.3.设随机变量X的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{kkkXP则}31123{XP=.4.设随机变量X的分布函数为2,120,sin0,0)(xxxxxF，则}6{XP.5.设随机变量X服从]3,1[上的均匀分布，则X1的数学期望为.6.设随机变量21,XX相互独立，其概率分布分别为则}{21XXP=.7.设X，Y是两个随机变量，)3,0(~2NX，)4,1(~2NY，X与Y相互独立，则~YX.8.设随机变量21,XX相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则)3(21XXD.9.设随机变量X和Y的相关系数为5.0，)(XE0)(YE，)(2XE2)(2YE，则2)(YXE=.答案：1.0.72.0.9763.314.0.55.3ln216.957.)5,1(2N8.659.6二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地1X122X12P3132P3132选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.解：设事件iA表示该球取自第i个箱子)3,2,1(i，事件B表示取到白球.2411853163314131)|()()(31iiiABPAPBP114)()|()()()()|(241163312222BPABPAPBPBAPBAP三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损5.0万元.求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X表示该厂一天所获的利润（万元），则X可能取5.0,1,2，且512.08.0}2{3XP，384.08.02.0}1{213CXP，104.0384.0512.01}5.0{XP.所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(XE（万元）四、设随机向量),(YX的密度函数为其它,010,10,4),(yxxyyxf.)1(求}{YXP；)2(求YX,的边缘密度，并判断X与Y的独立性.解：(1)5.0)1(24),(}{102110dxxxxydydxdxdyyxfYXPxyx；(2),,010,24),()(,,010,24),()(1010其它其它yyxydxdxyxfyfxxxydydyyxfxfYX由),()()(yxfyfxfYX知随机变量YX,相互独立.五、设随机变量X的密度函数为其它,010,3)(2xxxfX，求随机变量12XY的密度函数.解法一：Y的分布函数为)21(}21{}12{}{)(yFyXPyXPyYPyFXY，两边对y求导，得其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22yyyyyfyfXY解法二：因为12xy是10x上单调连续函数，所以其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22yyyhyydyydhyhfyfXY注：21)(yyhx为12xy的反函数。二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为5:3:2.已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3.现从三人生产的零件中任取一个.)1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,AAA分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件B表示取到的零件是次品.(1)028.0%2105%4103%3102)|()()(31iiiABPAPBP；(2)143028.0%32.0)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP.三、设一袋中有6个球，分别编号1，2，3，4，5，6.现从中任取2个球，用X表示取到的两个球的最大编号.)1(求随机变量X的概率分布；)2(求EX.解：X可能取6,5,4,3,2，且6,5,4,3,2,1511}{26kkCkkXP所以X的概率分布表为3/115/45/115/215/165432PX且31415162kkkEX.四、设随机向量),(YX的密度函数为其它,020,10,),(yxxyxf.)1(求}1{YXP；)2(求YX,的边缘密度，并判断X与Y的独立性.解：(1)31),(}1{1020101dxxxdydxdxdyyxfYXPxyx；(2),,020,21),()(,,010,2),()(1020其它其它yxdxdxyxfyfxxxdydyyxfxfYX由),()()(yxfyfxfYX知随机变量YX,相互独立.五、设随机变量X服从区间]3,0[上的均匀分布，求随机变量13XY的密度函数.解法一：由题意知其它,030,3/1)(xxfX.Y的分布函数为)31(}31{}13{}{)(yFyXPyXPyYPyFXY，两边对y求导，得其它即,0813310,91)31(31)(yyyfyfXY解法二：因为13xy是30x上单调连续函数，所以其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(yyyhdyydhyhfyfXY注：31)(yyhx为13xy的反函数。三、已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率是0.04．求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率．解：设1A“确实为合格品”，2A“确实为次品”，B“判为合格品”（1）)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP859.004.01.095.09.0（2）9953.0)()|()()|(111BPABPAPBAP四、设二维连续型随机向量),(YX的概率密度为其他00),(yxeyxfy，求：（1）边缘密度函数)(xfX和)(yfY；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由；（3）}1{YXP．解