高等数学2期末复习题与答案

1《高等数学》2期末复习题一、填空题：1.函数)3ln(12222yxyxz的定义域是1≦X^2+Y^23.2.设,)1(yxz则yz(1)ln(1)yxx.3.函数22ln(1)zxy在点(1,2)的全微分(1,2)dz1233dxdy4．设,),(22yxxyyxf则),(yxf.设22(,),yfxyxyx则),(yxf.5.设vezusin而xyuyxv则yz[sin()cos()]xyexxyxy6．函数22yxz在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，32）的方向导数是1237.改换积分次序2022),(yydxyxfdy；21101(,)yydyfxydx.8．若L是抛物线xy2上从点A)1,1(到点B)1,1(的一段弧，则Lxydx=9.微分方程22(1)0xxedyyedx的通解为.二、选择题：1．yxyyx)tan(lim)0,2(),(等于（）（上下求导）A．2，B.21C.0D.不存在2．函数yxz的定义域是（D）A．0,0),(yxyxB.yxyx2),(C.yxyyx2,0),(D．yxyxyx2,0,0),(23.),(00|),(yxxyxf（B）A.xyxfyyxxfx),(),(lim00000B.xyxfyxxfx),(),(lim00000C.xyxxfyyxxfx),(),(lim00000D.xyxxfx),(lim0005.设)(22yxFz，且F具有导数，则yzxz（D）A.yx22；B.)()22(22yxFyx；C.)()22(22yxFyx；D.)()22(22yxFyx.6．曲线taxcos，taysin，amtz，在4t处的切向量是（D）A．)2,1,1(B.)2,1,1(C.)2,1,1(mD.)2,1,1(m7．对于函数xyxyxf2),(，原点)0,0(（A）A．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设I=dxdyyxD5221，其中D是圆环4122yx所确定的闭区域，则必有（）A．I大于零B.I小于零C.I等于零D.I不等于零，但符号不能确定。9.已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分220Lxdxaydyxy，则a等于（）.A-1B1C2D-210．若L为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段，则曲线积分()Lxyds=（）A．0B.1C.2D.211.设D为,222yyx则dxdyyxfD)(22（）3A.dxyxfdyyy)(2220202；B.rdrrfd)(21020；C.rdrrfd)(2sin200；D.dyyxfdx)(222011.12.微分方程()1xeyy的通解为（）A.xyec；B.xyexc；C.()xyxce；D.xycxe13.（）是微分方程xyye在初始条件001,1xxyy下的特解.A.12xyccxe；B.xyxe；C.12xyxe；D.1xyxe.三、计算题：1.设33(sin,)xzfeyxy，求zx及zy，其中f具有一阶连续偏导数.2．设sinsinxyuvxvyu，求xu，xv3．求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程。4．求函数322(,)339fxyxyxyx3的极值45．计算2Dxydxdy，其中D是由圆周422yx及y轴所围成的右半闭区域.6．计算2yDedxdy，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）为顶点的三角形闭区域.7.计算xdxdydz，其中是三个坐标面与平面1zyx所围成的区域.8.计算Ldyyxdxyx)1353()42(，其中L为圆2522yx的正向边界。9.计算曲线积分33()(),Lyxdyxydx其中L是从O(0,0)沿上半圆xyx222到A(2,0).510.验证：在整个xoy面内，xdyyxdxyx2cos3cos3cos3sinsin4是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.11.求微分方程22(1)24xyxyx的通解.12.求解微分方程的特解：22(3)20,(0)1yxdyxydxy13.解微分方程23()()0yyyy.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.63.求抛物线242yxyx与曲线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面226zxy与锥面22zxy所围成的立体的体积.高等数学2期末复习题答案一、填空题：1、22{(,)13}xyxy2、(1)ln(1)yxx3、1233dxdy4、22(1)2;1xyxyy5、[sin()cos()]xyexxyxy6、123（注：方向导数0,00000()(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl）7、402(,)xxdxfxydy；201111000(,)(,)xxdxfxydydxfxydy8、45（注：01104()5Lxydxxxdxxxdx）9、22(1)xyeC二、选择题：1、A;2.D;3.B;4.缺5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;10.C;11.C;12.C;13.D三、计算题：1.解：令33sin,xueyvxy，则72212sin3sin3xxzzuzvzzeyxeyfxfxuxvxuv2212cos3cos3xxzzuzvzzeyyeyfyfyuyvyuv2.解：两方程分别两边对x求偏导数，注意,uv是关于,xy的二元函数，得1sincoscosuvxxvuvxvyuxx即1coscossinuvxxuvyuxvvxx这是以,uvxx为未知量的二元线性方程组。当11(coscos)0coscosJxvyuyuxv时，有111cossinsincoscoscosuxvvvxvxJxvyu，111sincoscossincoscosvvyuyuvxJxvyu3.解：旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切向量(2,1,4)(2,2,1)(4,2,1)nxy于是，所求切平面方程为4(2)2(1)(4)0xyz，即4260xyz法线方程为214421xyz4.解：解方程组223690360fxxxfyyy，得四个驻点1234(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)PPPP.又66,0,66xxxyyyfxffy.8对21(1,0),0,PACB且0A,则1(1,0)P是函数的极小值点；对22(1,2),0PACB,则2(1,2)P不是极值点；对23(3,0),0PACB,则3(3,0)P不是极值点；对24(3,2),0PACB,且0A,则4(3,2)P是函数的极大值点.于是，函数有极小值(1,0)1395f，极大值(3,2)27827122731f.5.解：利用极坐标变换，令cos,sinxryr，则dxdyrdrd，且D可表示为：02,22r.于是2Dxydxdy22242202cossincossinDrrrdrdrdrd2253021164sin5315r.6.解：三角形区域D由直线,1yxy及y轴围成，选择先对x积分，22221111000011(1)22yyyyyDedxdydyedxyedyee.（注：此题也可以参看课本167页例2的解法）7.解题过程见课本124页例1.8.解：(,)24,(,)3513PxyxyQxyxy在L围成的圆域D:2225xy上全在连续的偏导数，1,3PQyx，从而4QPxy.于是由格林公式，得(24)(3513)44425100LDDxydxxydydxdydxdy.99.解：33(,),(,)PxyxyQxyyx，有1PQyx在整个xoy平面上恒成立，所以曲线积分与路径无关，故可取x轴上线段OA作为积分路径.OA的方程为0y，且x从0变到2，0dy，从而3333()()()()LOAyxdyxydxyxdyxydx223400144xdxx.10.解：(,)4sinsin3cos,(,)3cos3cos2PxyxyxQxyyx，有4sincos3cos36sin2cos3Pxxyxyy，3cos32(sin2)6sin2cos3Qyxxyx，即有PQyx在整个xoy平面上恒成立，因此在整个xoy面内，xdyyxdxyx2cos3cos3cos3sinsin4是某个函数的全微分.取ARB为积分路径，其中各点坐标分别为(0,0),(,0),(,)ARxBxy，得(,)(0,0)(,)4sinsin3cos3cos3cos2xyuxyxyxdxyxdy4sinsin3cos3cos3cos24sinsin3cos3cos3cos2ARRBxyxdxyxdyxyxdxyxdy00003cos3cos23cos2cos3xyydxyxdyxydy013cos2sin3sin3cos23yxyyx.11.解法一：方程可改写为2222411xxyyxx，这是一阶非齐次线性微分方10程.先求对应的齐次线性方程的通解.由2201xyyx，分离变量，得221dyxdxyx，两边积分，解得121Cyx.用常数变易法，将1C换成()Cx.即2()1Cxyx，22212()()1(1)xyCxCxxx.代入原方程，化简得2()4Cxx.故34()3CxxC.于是方程的通解为3214()13yxCx.解法二：方程可改写为2222411xxyyxx.这是一阶非齐次线性微分方程，其中22224(),()11xxPxQxxx.利用通解公式()()(())PxdxPxdxyeQxedxC222221124()1xxdxdxxxxeedxCx2232221414[(1)]()1113xxdxCxCxxx.12.课本212页第8题第（1）小题。解：原方程可写成221320xxdxyydy.令xuy，即xyu，有dxduuydydy，则原方程成为2132()0duuuuydy，分离变量，得221udyduuy.两边积分，得21uCy.11代入xuy并整理，得通解223xyCy.由初始条件0,1,xy得1C.于是所求特解为322yyx.13.解题过程见课本212页例5.四、应用题：1.解法一：设水池的长、宽、高分别是,,xyz.已知xyz=V，从