陕西师范大学高代复习资料

11一、基本概念复习1.什么是正定矩阵？正定矩阵的性质（至少说四条）？怎样判定一个矩阵是正定矩阵？2.线性空间的定义？基本性质（至少说四条）？子空间定义？子空间的判定？3.子空间交、和、直和定义？怎样判定直和？关于子空间最重要的两条性质是什么？4．什么是子空间的补及正交补的定义？两者有什么区别和联系？5．生成子空间的定义？生成子空间的基、维数怎确定？写出计算课本第270页第18大题第1小题的步骤？6．线性空间基、维数、坐标的定义？写出基坐标及坐标变换公式？过渡矩阵和可逆矩阵的关系？7．nnP的维数与一组基？nnP中全体对称、反对称、上三角矩阵的维数分别是多少？维数是否和所考虑的数域有关？请举例说明。8．线性空间同构的定义？同构的基本性质（至少说四条）？9．线性变换的定义？线性变换的常见运算有几个？线性变换的乘法是否可换？举例说明？10．线性变换与基像的关系？怎样写出线性变换在一组基下的矩阵？线性变换在不同基下矩阵之间的关系？请写出课本第322页第7大题第6小题的步骤？11．线性变换和矩阵的关系（至少说四条）？线性变换前后向量在一组基下坐标的关系？12．相似矩阵的定义？相似矩阵的性质（至少说四条）？13．线性变换及矩阵特征值和特征向量的定义？两者有何区别和联系？求线性变换特征值及特征向量的步骤？14．线性变换的行列式、特征多项式的定义？矩阵特征值与矩阵迹、行列式的关系？15．线性变换对角化的充要条件？线性变换特征值的性质？什么是Hamilton-Cayley定理？16.给定具体线性变换，怎样判断它是否可对角化？请写出步骤？17．什么是幂零矩阵?写出n阶幂零矩阵A的特征多项式？迹？行列式？18．线性变换的值域与核定义？怎样计算值域及核？以课本第323页第14大题为例说明？值域及核的维数的关系？值域与核的和是否是直和？为什么？19．什么是幂等矩阵？幂等矩阵的特征值？实对称幂等矩阵是否可对角化？能否取掉实对称性？20．什么是不变子空间？请写出课本第326页第25大题的步骤？21．什么是若当块？什么是若当形矩阵？22．什么是矩阵？怎样判断矩阵的可逆性？把矩阵化为标准形的步骤？23．什么是矩阵的不变因子？行列式因子？怎样求矩阵的不变因子？24。设A是n阶方阵？什么是A的不变因子、行列式因子、初等因子？三者有何关系？A的行列式因子有几个？25．n阶方阵A与B相似的充分必要条件？A与TA是否相似？怎样计算n阶方阵A的若当标准形？26.什么是欧氏空间？解释向量的长度、正交、夹角概念？什么是度量矩阵？度量矩阵与内积有何关系？参见课本第393页第1大题。27．什么是正交向量组？有何性质？什么是正交基、标准正交基？怎样把无关向量组化为等价的标准正交基？28．什么是欧氏空间的同构?性质（至少说四条）？)R(Mn是否能成为欧氏空间？)R(Mn22和哪个欧氏空间同构？29．什么是正交变换？有限维正交变换的等价刻画有几条?正交变换都可逆吗？为什么？证明或者举例说明？30．什么是正交矩阵？正交矩阵的性质？正交矩阵的特征值都是实数吗?为什么？上三角正交矩阵是否一定是对角矩阵？两个实对称矩阵A与B正交相似的充要条件？31．什么是对称变换？写出对称变换的不变子空间的正交补仍是的不变子空间的步骤。什么是反对称变换？写出反对称变换的不变子空间的正交补仍是的不变子空间的步骤。32．实对称矩阵的性质？写出实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤？33．若,0Ak且A是实对称矩阵，则0A对吗？取掉A是实对称矩阵，结论0A还成立吗？若,0Ak但0A，A能否对角化？如果A是实对称幂等矩阵，则A相似于)00,1,1(dia，对吗？取掉实对称，结论还成立吗？34．请写出课本第393页第5大题及第7大题的步骤？35．请写出证明课本第394页第12大题的步骤？利用它证明秩（A）=秩（AAT）？36．请写出证明课本第269页第13大题的步骤？若1101A，则)A(C的维数？37．请写出证明课本第394页第10大题的步骤？38．请写出证明课本第322页第10及11大题的步骤？39．什么是数域上P的多项式0111n)(faaann的友矩阵fC？fC的不变因子？二、填空题1.设1V和2V是线性空间V的子空间,则包含在1V和2V中的最大子空间是。2．在2P中,由基),0,1(1),1,1(2到基)1,2(1,)2,0(2的过度矩阵是。3.设是2P中的一个线性变换，若关于基21,的矩阵为dcba，那么关于基12,3的矩阵为。4.已知55矩阵的初等因子为2)2(,1,1,，那么A的不变因子为_____.5．设A为n级实对称矩阵，且0kA，k为某一正整数，则A=。6.在3P中,向量)6,12,4(在基),3,1,2(1),1,0,1(2)1,5,2(3下的坐标为_____。337.A是3阶矩阵，1A的特征值是1，-1，2，则*A的特征值是_____。8．在3P中定义线性变换),,0()(21xxx，3321),,(Pxxxx,则2的值域为_____。9．设k是实数，T是正交矩阵，若kT也是正交矩阵，则k。10.设2()|()0VAMRTrA是关于矩阵的加法与数乘构成的实线性空间，则线性空间V的维数等于.11．在4[]Px中，221)(xxxf在基32,,,2xxx下的坐标是.12．已知3阶矩阵A的三个特征值为2，3，4，则TA的特征多项式()_______f.13．已知2阶方阵A的特征值为3和1，它们对应的特征向量分别为021X，222X，则A.14．在欧氏空间3R里，向量)2,1,1(与向量)1,1,0(的夹角为.14．（1）已知BA,为三阶相似矩阵，2,121为A的特征值，行列式2||B，则行列式*1)2(00)(BEA=。(2)设BA,为n阶矩阵，其中A为可对角化矩阵且满足,02AAEBB2，2)(ABr，则行列式|2|EA=；(3)已知A为三阶可对角化矩阵，2-,0321为其三个特征值，*A为A的伴随矩阵，则行列式|32|*AA=。15．(1)已知BA,为三阶相似矩阵，且0|2|EA，-1,132为B的两个特征值，则行列式|2|ABA=。(2)设三阶实对称矩阵A有三个不同的特征值321,，。21，所对应的特征向量分别为TTaaa)1,1,(,)1,,1(21，则3所对应的特征向量3=。15.在2P中,从基),1,3(1),3,2(2到基)0,1(1，)1,0(2的过渡矩阵是_____.2.在4P中，已知向量组)3,2,2,1(),0,1,3,2(),2,1,2,1(321，)4,0,3,1(),1,1,0,1(),1,1,1,1(321.设),,(3211LV，44),,(3212LV，则21VV的维数是．16.在3P中定义线性变换),,0()(21xxx，3321),,(Pxxxx,则2的核为_____.17.已知3阶矩阵A的三个特征值为2，3，4，则TA的特征多项式()_______f.18.级矩阵200120012A的不变因子为_____.19．已知3维欧氏空间中有一组基321,,，其度量矩阵为300021011A，向量32132,则||=.三、单项选择题1.设1V和2V是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的为().A．1V+2VB.1V2VC.1V2VD.1V}0{2.设是数域P上线性空间V的线性变换,和是的分别属于特征值和的特征向量，那么().A．若与线性相关，则B.若与线性无关,则C．若,则与线性无关D.若,则与线性相关3.下列矩阵中的特征值一定为实数的矩阵为（）A.可逆矩阵B.正交矩阵C.实对称矩阵D.过渡矩阵4.矩阵A有一个不变因子为22，则下列结论正确的是().A.A相似与对角矩阵B.A是退化矩阵C.A的初等因子都是的幂或2的幂D.A是非退化矩阵5.设A是n级实矩阵,则A为正交矩阵的充要条件为().A.矩阵A的列向量组是nR的标准正交基B.AA1C.11||或AD.矩阵A的列向量两两正交.6.下列的子集中是的子空间的为。A.｛),,(21naaa︱niZai,,2,1,,为整数集Z｝B.｛),,(21naaa︱0ia｝C.}0|),,{(11nnaaaaD.}1|),,{(11nnaaaa7.设V是n维线性空间，则V上的线性变换全体组成的线性空间的维数为。A.nB.)1(21nnC.)1(21nnD.2n558.设A为n阶矩阵，且0kA，其中k为正整数，则（）A．A=0B.A有一个不为零的特征值C．A的特征值全为零D.A存在n个线性无关的特征向量9.n级矩阵可逆的充要条件是().A.0)(AB.0|)(|AC.|)(|A是一个非零常数D秩0)(A10.和矩阵0110A正交相似的矩阵为A.2211B.1001C.1011D.2111.11．设m,,,21是线性空间V的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）A．任一组不全为零的数mkkk,,,21，都有miiik10；B.任一组数mkkk,,,21，有miiik10；C.当021mkkk时，有miiik10；D.任一组不全为零的数mkkk,,,21，都有miiik10。12.设A是n阶矩阵，21,是A的特征值，21,是A的分别对应于特征值21,的特征向量，则()A.21时，21,一定成比例；B.21时，21,一定不成比例；C.21时，21,一定成比例；D.21时，21,一定不成比例；13．矩阵A与B相似的充要条件是().A.特征多项式相同B.行列式相同C.特征值相同D.特征矩阵等价14.设是n维欧氏空间上的线性变换，在基n,,1下的矩阵为对称矩阵A，则().A.为对称变换B.为可逆变换C.为正交变换D.当n,,1为标准正交基时,为对称变换15.设V是n维欧氏空间，那么V中的元素具有如下性质（）A.若,,；B.若；66C.若11,；D.若,016.设V是实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的线性空间，其中，20000001A,则V的维数为().(1)n(2)5(3)3(4)217.设n维线性空间V的线性变换在某一组基下的矩阵为A,则A的秩().(1)等于的零度;(2)小于的零度;(3)等于的秩;(4)小于的秩.18.矩阵A与B相似的充要条件是().(1)特征多项式相同(2)行列式相同(3)特征值相同(4)特征矩阵等价。19.设是n维欧氏空间上的线性变换，在基n,,1下的矩阵为对称矩阵A，则().(1)为对称变换(2)为可逆变换(3)当n,,1为标准正交基时,为对称变换(4)为正交变换.四、计算题1.设4321,,,是四维线性空间的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为2122552131211201A，(1)求线性变换在基42112,42223,433,442下的矩阵；(2)求的核与值域.2.求矩阵A=502613803的若当标