高观点下的几个初等数学问题(分析与解答)

高观点下的几个初等数学问题分析与总结文章作者：张丽英教授文章摘要:初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。本文关键词：高等数学；初等数学；分解因式；数列；不等式一前言高等数学与初等数学的研究对象、研究方法有本质上的不同，但两者之间存在着紧密的联系,高观点下的初等数学(参见文献[1])，是从高等数学的观点和角度来审视，理解初等数学问题，对中学数学的理论理解及解题思路都有很大的指导作用。1.1从高观点的角度看初等数学问题的必要性在中学学数学时，对有些概念和方法没有加以解释与说明就直接应用，虽然使用时能解决问题，但要深入地理解是不可能的。如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题，很多问题是无法看清的.正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样，只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学。例如，“形如bia(a,b都是实数)的数”叫做复数。这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑。a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号。那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？仅用初等数学眼光来看都是模糊的。这是初等数学的局限性。1.2用高等数学思想思想剖析初等数学问题更明了另一方面，初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型，在高等数学中进一步抽象为集合与映射空间、群等现代数学概念。数学的本质,数学的作用，也就是抽象与概括。从大量不同的对象之间，找出其相同之处，从而得到它们之间的逻辑联系和数量关系，组成一个统一的结构体。高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的。高等数学与初等数学之间有着必然的联系，许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决。例如，前面提到的“形如bia(a,b都是实数)的数”叫做复数。这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑，a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号。那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？为此，在大学时学习近代数中复数的构造性理论后才能作出正确圆满的解答。C是复数集，+，·分别是复数的加法与乘法，则（C；+，·）是一个域，叫复数域。对应关系：aa)0,(之下可证集合Raa0,与实数同构，故可把)0,(a看成实数a,即)0,(a=a，从而复数域的一个扩域。由复数乘法的定义得（0，1）·（0，1）=（－1，0）=－１。因此复数（0，1）和1的性质相同。它是是012x的一个根，令i)1.0(，i为虚数单位。因为，（0，1）·（b，0）=（0，b），所以，（0，b）=bi.故任一复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a，0）+（0，b）=a+bi.于是可知bia中的“+”不仅是形式上的符号，它与算术运算中的“+”完全一致。二高等数学许多方法和技巧用于解初等数学题并使问题得以深化和拓广因此有必要阐明高等数学与初等数学之间的联系,突出高等数学对初等数学的指导作用，学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学教学内容密切相关但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中已经解决，而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景,还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题（尽管这些问题可以用初等的方法来解决）等等。总之应用高等数学的方法、思想、工具使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了更深刻的认识。以下着重用例子在高观点下分析几个初等数学问题。2.1因式分解问题因式分解是一种重要的恒等变形，它的方法很多，技巧性很强，不易掌握，如用高观点来解决这类问题则可达到化难为易的效果。例1把271081446423xxx分解因式。用初等数学方法，需要对上式拆项。即：32222323)34()92416)(34()34(9)34(24)34(162736729648642710814464xxxxxxxxxxxxxxxxx显然上式分解有一定难度，介利用微分法有助于找重因式;先对x求导得22)34(12108288192xxx，因此可知原式必有三重因式即：323)34(2710814464xxxx。除了利用微分法可以帮助分解因式，还可以利用行列式的方法。引理1（一元多项式）设nnnnaxaxaxaxp1110)(是数域F上的一元多项式则)(xp=10221100000100001axaaaaaxxxnnn证明（参见文献[7]）。引理2利用三阶行列式的平行线法，可很快算出循环行列式的值；设A=acbbaccba，则abccbaA3333证明（参见文献[4]）。例2分解多项式2411815245234xxxx。用初等数学方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法会较易求得。解：由引理1可得，原式=0152451182410001000124515118241000100012xxxxxxxxx=5245224150)15(5151524511824100022xxxxxxxxxxx=552241051)15(522410515)15(2xxxxxxxxxxx=)4)(3)(2)(15(52241)15(2xxxxxxxx（行列式的计算原理参见文献[9]）例3因式分解abccba3333。解：由引理2知acbbaccbaabccba3333,则))((111)(3222333bcacabcbacbaacbbaccbaacbbaccbacbacbaacbbaccbaabccba由上两例可知,利用行列式也可使某些因式分解问题简化。2.2数列问题引理3如果行列式中有两两行(列)的对应元素成比例,则此行列式等于零.证明(参见文献[4])由引理3，可知若不相等的三数321,,xxx成等差数列，且,0111332211yxyxyx则,,,321yyy也成等差数列。推论1，设knmaaa,,分别是一等差数列的第m项，第n项，第k项的充要条件是0111knmakanam。证：充分性，由0111knmakanam，知),(),,(),,(knmakanam三点共线，不妨设该直线的方程为了baxy，得knmaaa,,三数所在数列的通项公式为banan，可知knmaaa,,是以banan为通项的等差数列的第m项，第n项，第k项。必要性，已知knmaaa,,，分别是一等差数列的第m项，第n项，第k项，设它们所在的数列首项为1a，公差为d，所以，0)()(0)1(0)(0)(1)1(1)1(1)1(1111111dknkndkmkmdkakdknkndkmkmdkakdnandmamakanamknm例4已知等差数列nxxxlg,lg,lg21的第r项为s，第s项为r（0＜r＜s），求nxxx21。解：设等差数列的第n项为na，由推论1得0111nanrssr得022sranrnssarnn∴nrsan∴nrsxnlg即nrsnrsnx101010∴)110(1091)101101101(10221nrsnrsnxxx推论2，若knmaaa,,分别为一公差d≠0的等差数列的第m项，第n项，第k项，则''',,knmaaa分别是另一等差数列的第m项，第n项，第k项的充要条件是0111'''kknnmmaaaaaa证明（参见文献[7]）。例5:已知某一三角形三边cba,,成等差数列，三边长倒数cba1,1,1，也成等差数列，问此三角形的形状。解，cba,,成等差数列，cba1,1,1也成等差数列∴0111111ccbbaa从而0))()((cbabcbaca得ba或cb或ca，又因为cba,,成等差数列故cba，所以此三角形为等边三角形。2.3一元函数微积分学在中学数学中的应用导数是一元微分学的基础，可以说微分学的所有问题都与导数分不开；微分是函数在某点处切线上对应于横坐标增量之间的纵坐标增量，正是微积分中“以直代曲”的根本依据；中值定理是利用导数研究函数在区间上整体性态的有利工具,这些对于研究初等数学的函数、平面曲线等问题提供了帮助。2.3.1利用导数几何意义，求初等数学问题利用导数几何意义，容易求出曲线上点的切线和法线方程及两平面曲线的交角等初等数学问题。例6求圆822yx与抛物线xy22的交角。分析：所谓两曲线的交角,指的是它们在交点处的切线的夹角。故需先求出两曲线的交点,然后求出该点处的两条切线,再求直线夹角即可。易求出圆822yx与抛物线xy22有两个交点(2,2)与(2,-2),由于图形关于X轴对称，故在两个交点处的交角相等。不妨只求在交点(2,2)的交角。由图知:12上半圆方程:28XY故28'XXY从而1'22XYtg上半抛物线方程:xy2故xy21'从而21'21xytg故得312112tgtgtgtgtg从而3arctg从此例可以看出,对于一些初等解法比较复杂的问题,用高等数学解法要相对简便。2.3.2不等式的的问题利用中值定理解中学数学中的不等式例7证明:当0ba时,不等式)()(11banababanbnnnn在1n时成立。分析:设nxxf)(则1)('nnxxf当0ba时,对)(xf在区间ab,上应用拉格朗日中值定理,有)(,)(')()(1abnfbabababfafnnn,当1n时,01n故11)(nnnnnababanb从而得证。此例若考虑中学解法,需将nnba展开,经过讨论,再适当放大和缩小后得出结果。例8证明:当0x时,xx)1ln(。此题可用中值定理证,也可用)1ln()(xxxF的单调性来证.证明:设xxfln)(则)(xf在]1,1[x上连续,在)1,1(x上可导,由拉格朗日定理知在)1,1(x内至少存在一点,使得xffxf)()1()1(,即xxx1)1ln(从例7,8可以看出,利用中值定理来证明不等式,较初等解法要相对简单,同时可以得到一些常用的公式。2.3.3近似计算问题伴随着无理式,超越式及其函数的出现,初等函数值的近似计算(估计)也是中学数学不可避免的问题,这些问题的解决都可以通过微分的原理和方法得以简化。例11计算101000的近似值。分析：因为1024210所以10131010)10241(21024100021000,利用泰勒展式:)(0!)1()1(!2)1(1)1(2nnxxnnxxx（参见文献[5]）再利用交错级数的余项估计法,确定项数后,可以