高阶微分方程

第四章高阶微分方程[教学目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。4.掌握高阶方程的应用。[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。[教学方法]讲授，实践。[教学时间]16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt（4.1）其中()(1,2,,)iatin及()ft都是区间atb上的连续函数如果()0ft，则方程（4.1）变为：1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt（4.2）称它为n阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。定理1如果()(1,2,,)iatin及()ft都是区间atb上的连续函数，则对于任一0,tab(1)(1)000,,,nxxx，方程（4.1）存在唯一解()xt，定义于区间atb上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,nnndtdttxxxdtdt（4.3）从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)iatin及()ft连续的整个区间atb上有定义。4.1.2齐线性方程的解的性质与结构讨论齐线性方程1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt（4.2）定理2（叠加原理）如果12(),(),,()kxtxtxt是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合1122()()()kkcxtcxtcxt也是（4.2）的解，这里12,,,kccc是任意常数。特别地，当kn时，即方程（4.2）有解1122()()()nnxcxtcxtcxt（4.4）它含有n个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky行列式等概念。设12(),(),,()kxtxtxt是定义在区间atb上的函数，如果存在不全为零的常数12,,,kccc，使得恒等式1122()()()0kkcxtcxtcxt对于所有,tab都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当120kccc时,上述恒等式才成立,称这些函数在所给区间上线性无关。由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组nyyy,,21中如果有一个函数为零，则nyyy,,21在),(ba上线性相关.2)如果两个函数21,yy之比21yy在),(ba有定义，则它们在),(ba上线性无关等价于比式21yy在),(ba上不恒等于常数.例1函数组xxeyey,1在任意区间上都是线性无关的.解比式21yy=xxxeee2不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组1,cos,sin32221yxyxy在区间),(上线性相关.解若取1,1,1321ccc则01)1(cos1sin122xx故已知函数组在),(上线性相关.设函数12(),(),,()kxtxtxt在区间atb上均有1k阶导数,行列式12(),(),,()()kWxtxtxtWt12'''12(1)(1)(1)12()()()()()()()()()kkkkkkxtxtxtxtxtxtxtxtxt称为这些函数的伏朗斯基行列式。定理3若函数12(),(),,()nxtxtxt在区间atb上线性相关，则在,ab上它们的伏朗斯基行列式()0Wt。证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数12,,,nccc，使得1122()()()0,nncxtcxtcxtatb（4.6）依次对t微分此恒等式，得到'''1122''''''1122(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0nnnnnnnnncxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxt（4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于12,,,nccc的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是12(),(),,()nWxtxtxt，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()0Wt()atb。反之，其逆定理一般不成立。例如函数2110()001ttxtt和12010()01txttt在区间11t上，12[(),()]0Wxtxt，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式1122()()011cxtcxtt（4.8）则当10t时，可知10c；当01t时，可知20c.即当且仅当120cc时，(4.8)式对一切11t成立.故12(),()xtxt是线性无关的.推论1如果函数组12(),(),,()nxtxtxt的朗斯基行列式()Wt在区间[,]ab上某一点0x处不等于零，即0)(0xW，则该函数组在[,]ab上线性无关.但是，如果12(),(),,()nxtxtxt是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4如果方程（4.2）的解12(),(),,()nxtxtxt在区间atb上线性无关，则12(),(),,()nWxtxtxt在这个区间的任何点上都不等于零，即()0Wt()atb。证明：采用反证法。设有某个0t，0atb，使得0()0Wt。考虑关于12,,,nccc的齐次线性代数方程组1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200()()()0()()()0()()()0nnnnnnnnncxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxt（4.9）其系数行列式0()0Wt，故（4.9）有非零解12,,,nccc。现以这组常数构造函数1122()()()()nnxtcxtcxtcxtatb根据叠加原理，()xt是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道这个解()xt满足初始条件'(1)000()()()0nxtxtxt（4.10）但是0x显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。由解的唯一性，即知()0xt()atb，即1122()()()0nncxtcxtcxtatb因为12,,,nccc不全为0，这就与12(),(),,()nxtxtxt线性无关的假设矛盾，定理得证。推论2设12(),(),,()nxtxtxt是方程（4.2）定义在[,]ab上的n个解，如果存在0[,]xab，使得它的朗斯基行列式0)(0xW,则该解组在[,]ab上线性相关.推论3方程（4.2）的n个解12(),(),,()nxtxtxt在其定义区间[,]ab上线性无关的充要条件是，存在0[,]xab，使得它的朗斯基行列式0)(0xW.定理5n阶齐线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。定理6（通解结构定理）如果12(),(),,()nxtxtxt是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为1122()()()nnxcxtcxtcxt（4.11）其中，12,,,nccc是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有n个任意常数。这些常数是彼此独立的。事实上，12'1212(1)(1)(1)12(),(),()0nnnnnnnxxxcccxxxcccWxtxtxtxxxccc()atb因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件，因此，只需证明：任给一初始条件(1)(1)(1)000000(),(),,()nnxtxxtxxtx（4.12）能够确定（4.11）中的常数12,,,nccc的值，使（4.11）满足（4.12）。现令（4.11）满足条件（4.12），得到如下关于12,,,nccc的线性代数方程组：11022000(1)11022000(1)(1)(1)(1)11022000()()()()()()()()()nnnnnnnnnncxtcxtcxtxcxtcxtcxtxcxtcxtcxtx（4.13）它的系数行列式就是0()Wt，由定理4知0()0Wt。根据线性代数方程组的理论，方程（4.13）有唯一解12,,,nccc。因此，只要表达式（4.11）中常数取为12,,,nccc，则它就满足条件（4.12），理得证。推论方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n。因此可得结论：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。4.1.3非齐线性方程与常数变易法性质1如果()xt是方程（4.1）的解，而()xt是方程（4.2）的解，则()()xtxt也是方程（4.1）的解。性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。定理7设12(),(),,()nxtxtxt为方程（4.2）的基本解组，而()xt是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为1122()()()()nnxcxtcxtcxtxt（4.14）其中12,,,nccc为任意常数。而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。证明：根据性质1易知（4.14）是方程（4.1）的解，它包含有n个任意常数，像定理6的证明过程一样，不难证明这些常数是彼此独立的，因此，它是方程（4.1）的通解。现设()xt是方程（4.1）的任一解，则由性质2，()()xtxt是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数12,,,nccc，使得1122()()()()()nnxtxtcxtcxtcxt即1122()()()()()nnxtcxtcxtcxtxt这就是说，方程（4.1）的任一解()xt可以由（4.14）表出，其中12,,,nccc为相应的确定常数。由于()xt的任意性，这就证明了通解式（4.14）包括方程（4.1）的所有解。﹟设12(),(),,()nxtxtxt是方程（4.2）的基本解组，因而1122()()()nnxcxtcxtcxt（4.15）为（4.2）的通解。把其中的任意常数ic看作t的待定函数()(1,2,,)ictin，这时（4.15）变为1122()()()()()()nnxctxtctxtctxt（4.16）将它代入方程（4.1），就得到12(),(),,()nctctct必须满足的一个方程，但待定函数有n