[正式]2018年1月广东省学业水平考试数学试题

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12018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题1、已知集合,21|,2,1,0,1xxNM则NM()NDMCBA..1,0,1.2,1,0.2、对任意的正实数yx,,下列等式不成立的是()10lnlnlg.lg3lg.lglglg.lglglg.3xxDxxCyxyxBxyxyA3、已知函数0,20,13xxxxfx,设af0,则af()0.21.1.2.DCBA4、设i是虚数单位,x是实数,若复数ix1的虚部是2,则x()4.2.2.4.DCBA5、设实数a为常数,则函数Rxaxxxf2存在零点的充分必要条件是()41.41.1.1.aDaCaBaA6、已知向量2,0,1,1ba,则下列结论正确的是()3.||||.2.//.baDbaCbbaBbaA7、某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是()78.87.69.96.和和和和DCBA28、如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为()8.4.2.1.DCBA9、若实数yx,满足0001xyxyx,则yxz2的最小值为()2.23.1.0.DCBA10、如图,O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则下列等式正确的是()ACDCDAA.DODCDAB.DBADOBOAC.ACBCOBAOD.11、设ABC的内角A,B,C的对边分别为cba,,,若3a,2b,13c,则C()3.32.6.65.DCBA12、函数xxxfcossin4,则xf的最大值和最小正周期分别为()24.22.4.2.和和和和DCBA313、设点P是椭圆214222ayax上的一点,21,FF是椭圆的两个焦点,若3421||FF,则||||21PFPF()74.24.8.4.DCBA14、设函数xf是定义在R上的减函数,且xf为奇函数,若0,021xx,则下列结论不正确的是()21.21.0.00.11221fxxfDfxxfCxfBfA15、已知数列na的前n项和,221nnS则22221naaa()3244.3144.124.124.1212nnnnDCBA二、填空题16、双曲线116922yx的离心率为______17、若322sin,且0,则tan_____18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为_______19、圆心为两直线02yx和0103yx的交点,且与直线04yx相切的圆的标准方程是_____三、解答题20、若等差数列na满足831aa,且36126aa。(1)求na的通项公式;(2)设数列nb满足21b,nnnaab211,求数列nb的前n项和nS421、如图所示,在三棱锥ABCP中,ABCPA平面,BCPB,F为BC的中点,DE垂直平分PC,且DE分别交AC,PC于点D,E。(1)证明:ABPEF平面//;(2)证明:ACBD2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题1、已知集合,21|,2,1,0,1xxNM则NM()NDMCBA..1,0,1.2,1,0.解:显然选B2、对任意的正实数yx,,下列等式不成立的是()10lnlnlg.lg3lg.lglglg.lglglg.3xxDxxCyxyxBxyxyA解:对于选项B,令1yx,则,02lglgyx而0lglgyx,显然不成立。选B3、已知函数0,20,13xxxxfx,设af0,则af()0.21.1.2.DCBA解:11003f,则21211faf,选C54、设i是虚数单位,x是实数,若复数ix1的虚部是2,则x()4.2.2.4.DCBA解:ixxiiixix221111,则22x得4x,选D5、设实数a为常数,则函数Rxaxxxf2存在零点的充分必要条件是()41.41.1.1.aDaCaBaA解:由041a得41a,选C6、已知向量2,0,1,1ba,则下列结论正确的是()3.||||.2.//.baDbaCbbaBbaA解:对于A,01021,错;对于C,2,2||||ba,错对于D,22101ba错。对于B,022,ba,由02002,得bba2,正确。选B7、某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是()78.87.69.96.和和和和DCBA解:3:23020::女男,则选取的15人,男生为632215;女生为932315;选A8、如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为()8.4.2.1.DCBA解:该几何体为长方体,长、宽、高分别为2、2、1,则体积为4122V,选C69、若实数yx,满足0001xyxyx,则yxz2的最小值为()2.23.1.0.DCBA解:交点为21210010,,,,,,则yxz2分别为2302,,,所以z的最小值为2,选D10、如图,O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则下列等式正确的是()ACDCDAA.DODCDAB.DBADOBOAC.ACBCOBAOD.解:对于A,CADCDA,错;对于B,DODCDA2,错;对于C,BDADBAADOBOA,错;对于D,ACBCABBCOBAO,正确;选D11、设ABC的内角A,B,C的对边分别为cba,,,若3a,2b,13c,则C()3.32.6.65.DCBA解:由余弦定理abcbaC2cos222得23341343cosC,从而65C,选A712、函数xxxfcossin4,则xf的最大值和最小正周期分别为()24.22.4.2.和和和和DCBA解:xxf2sin2,所以xf的最大值为2,最小正周期为22选A13、设点P是椭圆214222ayax上的一点,21,FF是椭圆的两个焦点,若3421||FF,则||||21PFPF()74.24.8.4.DCBA解:由34221cFF||得32c,所以164322222bca,所以4a,所以82||||21aPFPF,选B14、设函数xf是定义在R上的减函数,且xf为奇函数,若0,021xx,则下列结论不正确的是()21.21.0.00.11221fxxfDfxxfCxfBfA解:代数排除法:令1,121xx,结合函数xf的草图,则对于D,22111ffxxf,选D15、已知数列na的前n项和,221nnS则22221naaa()3244.3144.124.124.1212nnnnDCBA解:解法一(代数排除法)先求得4,212211SSaSa,从而当2n时202221aa,令四个选项中的n为2,则8.20.36.36.DCBA,只有C项为20,从而选择C解法二:nnnnSSanSa2,2,2111,又21a满足nna2,则nna2,所以2na是首项为421a,公比为4的等比数列,所以314441412222221nnnaaa,选C8二、填空题16、双曲线116922yx的离心率为______解:由92a,162b得25222bac,所以3a,5c所以离心率为35ac17、若322sin,且0,则tan_____解:32cos2sin,因为0,所以35321sin2所以25cossintan18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为_______解:943322P19、圆心为两直线02yx和0103yx的交点,且与直线04yx相切的圆的标准方程是_____解:由020103yxyx得圆心为24,,则圆心24,到直线04yx的距离为22|424|,从而圆的半径为2,从而圆的标准方程是22422yx9三、解答题20、若等差数列na满足831aa,且36126aa。(1)求na的通项公式;(2)设数列nb满足21b,nnnaab211,求数列nb的前n项和nS解:(1)设等差数列na的公差为d,由36812631aaaa得36115821111dadadaa得221da,所以nnan2212,所以na的通项公式为nan2(2)由nnnaabnnn22412211所以42122nnbn,又21b满足42nbn所以42nbn,所以2412421nnbbnn所以数列nb是以首项21b,公差为2的等差数列,所以数列nb的前n项和nnnnSn32422221、如图所示,在三棱锥ABCP中,ABCPA平面,BCPB,F为BC的中点,DE垂直平分PC,且DE分别交AC,PC于点D,E。(1)证明:ABPEF平面//;(2)证明:ACBD证明:(1)因为DE垂直平分PC,所以E为PC的中点,又F为BC的中点,所以BPEF//,又ABPEF平面,ABPBP平面所以ABPEF平面//(2)连结BE,因为BCPB,E为PC的中点,所以BEPC;因为DE垂直平分PC,所以DEPC,又EDEBE,所以BDEPC平面因为BDEBD平面,所以BDPC10因为ABCPA平面,ABCBD平面,所以BDPA,又PPAPC,所以PACBD平面因为PACAC平面,所以ACBD

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