随机信号重要知识点整理

随机信号重要知识点整理1．能量信号和功率信号通常称2)(tx为信号)(tx的能量密度或瞬时功率。信号的总能量是对2)(tx在整个时间范围积分，即dttxEx2)(（1.6）同理，离散信号的总能量定义为nxnxE2)(（1.7）如果信号的总能量有限，即Ex∞，则称)(tx或()xn为能量信号；如果信号的总能量无限，即Ex∞,但是其平均功率有限，即222)(1limTTdttxTPTx（1.8）或（对于离散信号）NNnTxnxNP2)(121lim（1.9）则称)(tx或()xn为功率信号。然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N。2.窄带信号与宽带信号时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换：deXtxtj)()(21（1.10）其中)(X是)(tx的傅里叶变换，又称为频谱，它等于dtetxXtj)()(（1.11）可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波tje相加（线性叠加）组成，)(X是)(tx在频域或频率空间的表示。如果信号)(tx的频谱)(X在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。与之对应的是，如果信号)(tx的频谱)(X在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。3.信号处理的理论基础数字信号处理的理论基础：1）Nyquist—Shannon采样定理；2）傅立叶级数；3）z－变换。时域分析、频域分析。FFT算法，滤波器设计。4.随机信号数字特征量1）一维分布的数字特征量随机信号的均值函数)()(tXEtxdxxtxf),((2-10)它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均值，它又称为一阶原点矩。随机信号的均方函数)()(2tXEtDxdxxtfx),(2(2-11)它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均方，又称为二阶原点矩；它也表示了在样本函数空间的瞬时功率，也就是在总集意义下的瞬时功率。随机信号的方差函数22)]()([)(ttXEtxxdxxtftxx),()]([2(2-12)它表示了随机信号在均值函数上下的起伏程度，它又称为二阶中心矩。一维分布的数字特征量之间的关系)()()(22tttDxxx(2-13)证明：因为dxxtftxtxx),()]([)(22dxxtfx),(2dxxtftdxxtxftxx),()(),()(22由(2-10)，即可得(2-14)。2）二维分布的数字特征量对任意的Ttt21,，随机变量)(1tX和)(2tX的协方差称为随机过程)(tX的自协方差函数（Autocovariance）)]()()][()([),(221121ttXttXEttCxxx2121212211),,,()]()][([dxdxxxttftxtxxx(2-14)而)(1tX和)(2tX乘积的期望)()(),(2121tXtXEttRx21212121),,,(dxdxxxttfxx(2-15)称为随机过程)(tX的自相关函数（Autocorrelation）。自协方差和自相关函数可以看作是随机变量的协方差与相关系数的推广，它们表示了随机信号不同时刻取值的关联程度。由n维分布的相容性，容易得出如下关系)()(),(),(212121ttttCttRxxxx(2-16)证明：若)(1tX和)(2tX的联合分布密度函数为),,,(2121xxttf，则)(1tX和)(2tX的边际分布密度函数分别为2212111),,,(),(xdxxttfxtf,1212122),,,(),(xdxxttfxtf且1),,,(212121xddxxxttf因此),(21ttCx21212121),,,(dxdxxxttfxx21212121),,,()(dxdxxxttfxtx21212112),,,()(dxdxxxttfxtx21212121),,,()()(dxdxxxttfttxx21212121),,,(dxdxxxttfxx21212121]),,,([)(dxdxxxttfxtx12212112]),,,([)(dxdxxxttfxtx21212121),,,()()(dxdxxxttfttxx21212121),,,(dxdxxxttfxx22221),()(dxxtfxtx11112),()(dxxtfxtx)()(21ttxx)()(),(2121ttttRxxx3）二维随机过程的互协方差函数与互相关函数为了表示了两个不同的随机信号TttX),(和TttY),(在不同时刻Tt1和Tt2取值的关联程度，定义两随机信号的互协方差函数与互相关函数为：互协方差函数（Cross-covariance)]()()][()([),(221121ttYttXEttCyxxydxdyyxttftytxyx),,,()]()][([2121(2-33)互相关函数（Cross-correlation）)()(),(2121tYtXEttRxydxdyyxttxyf),,,(21(2-34)其中),,,(21yxttf是)(1tX和)(2tY的联合分布密度函数。互协方差函数与互相关函数存在关系)()(),(),(212121ttttCttRyxxyxy(2-35)5.二阶矩过程定义：一个随机信号)(tX，对于所有的Tt，其均值与均方都存在，就称其为二阶矩过程。性质：1）二阶矩过程的自协方差函数对于所有的Ttt21,存在；2）二阶矩过程的自相关函数对于所有的Ttt21,存在。由施瓦兹不等式22211221})]()()][()([{)],([ttXttXEttCxxx222211)]()([)]()([ttXEttXExx)()(2212ttxx6.平稳随机过程如果随机过程)(tX的均值是常数，它的自相关函数),(21ttRx只取决于时间差12tt)(12tt，即)()(tXEtx=常数(2-17)),(21ttRx)()(21tXtXE)()(11tXtXE)()(tXtXE)(xR（2-18）则称其为广义平稳随机过程。平稳随机过程的一、二维分布的数字特征有以下性质：1）一维分布的数字特征都是常数)()(tXEtx=常数(2-21))0()()(2xxRtXEtDxD常数(2-22))()()(22ttDtxxx2x常数(2-23)2）二维分布的数字特征都是单变量函数),(21ttRx)(xR(2-24)),(21ttCx=),(21ttRx)()(21ttxx2)(xxR7.平稳随机过程的各态遍历性定义：一个平稳随机过程，如果满足：1）它的单一样本的时间平均与总集平均（某一时刻的统计平均）相等；2）它的单一样本的时间自相关与总集自相关相等；则称其为各态遍历的随机过程。意义：对于平稳随机过程，若满足各态遍历条件（实际中它们是常常能够满足的），它的样本空间的平均、相关可以用对时间的平均、相关来代替。只要用平稳过程在足够长时间的一次实现，就可以确定过程的均值和相关函数。这正是遍历性定理在实用上重要的原因。推论：各态遍历的平稳随机信号)(tX的在总集意义下的瞬时功率)(2tXE与单一样本函数)(tx的平均功率相等，即)()(2122limtXEdttxTPTTTx)0(xR8.联合平稳随机信号1）二维随机过程的互协方差函数与互相关函数为了表示了两个不同的随机信号TttX),(和TttY),(在不同时刻Tt1和Tt2取值的关联程度，定义两随机信号的互协方差函数与互相关函数为：互协方差函数（Cross-covariance)]()()][()([),(221121ttYttXEttCyxxydxdyyxttftytxyx),,,()]()][([2121(2-33)互相关函数（Cross-correlation）)()(),(2121tYtXEttRxydxdyyxttxyf),,,(21(2-34)其中),,,(21yxttf是)(1tX和)(2tY的联合分布密度函数。互协方差函数与互相关函数存在关系)()(),(),(212121ttttCttRyxxyxy2）联合平稳如果随机过程)(tX和)(tY是平稳的，它们的互相关函数),(21ttRxy与时间的起点，而仅依赖于时间差12tt，)(12tt，即),(21ttRxy)()(21tYtXE)()(11tYtXE)()(tYtXE)(xyR(2-36)则称它们是联合平稳的。联合平稳随机过程的互协方差函数联合平稳随机过程)(tX和)(tY的互协方差函数为)()()()(),(),(212121xyyxxyyxxyxyCRttttRttC(2-37)联合平稳随机过程的各态遍历对于联合平稳的随机信号)(tX和)(tY，如果各自的样本函数)(tx和)(ty的时间互相关与样本总集互相关相等，即TTTxydttytxTtYtXER)()(21)()()(lim(2-38)则称它们是各态遍历的联合平稳随机过程。此时，互协方差函数为yxxyxyRC)()(TTTTTTTTTdytyTdttxTdttytxT)(21)(21)()(21limlimlim9.随机序列分布函数与数字特征量对于随机序列，仅需在上述各个公式中作替换：nt，11nt，22nt，m，NT，NNnTTNT12121例如，对于随机序列，平稳性条件是x)(nXENNnNnxN)(121limNNnNxmnxnxNmnXnXEmR)()(121)()()(lim10.小结随机信号的一、二维数字特征：均值函数、均方函数、方差函数、自协方差函数、自相关函数、互协方差函数、互相关函数。平稳过程、渐进平稳过程：一维数字特征是常数（趋于常数）；二维数字特征是单变量函数（趋于单变量函数）。平稳过程的各态遍历性：单一样本的时间平均等于样本函数空间的总集平均；单一样本的时间自相关等于样本函数空间的总集自相关。