随机变量到随机过程.

2019/12/141随机变量到随机过程4.1.1随机过程的定义自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描绘。随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述。4.1从随机变量到随机过程（1）贝努里实验:其样本空间只有两个样本点，即只有两个可能结果:和。在掷币实验中，贝努里随机变量可以表示为:A()X1()0X正面表示基本可能结果正面随机过程例子A有概率若重复在t=n(n=1,2,…)时刻上，独立进行相[()1],[()0],1PXpPXqpq同的掷币实验,12(),(),,(),nXXX构成一随机变量序列n0112345678910()nX则有其概率()nX[(,)1],[(,)0],1PXnpPXnqpq10tn正面时刻正面(,)Xnn0112345678910n01123456789101(,)Xn2(,)Xn所有随机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为一个样本，也叫一个实现。观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。所有波形的集合就是随机信号。（2）时间连续的随机现象定义1：设随机试验E的样本空间，若对于每个元素，总有一个确知的时间函数与它对应。对于所有的，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。}{SSS),(tXTtTt随机过程的定义x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk随机过程的定义定义2：若对于每个特定的时间，都是随机变量，则称为随机过程，称为随机过程在时刻的状态。),2,1(iti),(itX),(tX),(itXitt)(tX随机过程的定义（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量随机信号可视为许多随机变量的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t随机信号的表征n0112345678910n01123456789101(,)Xn2(,)Xn(9,)X(1,)XX(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)t（2）随机信号可视为所有样本函数的集合n0112345678910n01123456789101(,)Xn2(,)Xn一个时间函数族一个确知的时间函数一个随机变量一个确定值t1和都是变量t2是变量而固定3固定而是变量t4和都固定t理解(,)Xt（1）时间离散、取值离散D.R.Seq.例：贝努里r.s.n0112345678910(,)Xn4.1.2随机过程的分类和举例例：一脉冲信号发生器传送的信号1202t1Xt0T02T04T03T（2）时间连续、取值离散D.R.P.例：正弦型信号()sin()XtAwtt()XtR,.V.wA－－常数①②R,.V.Aw－－常数③R,.V.Aw－－常数t()Xtt()Xt（3）时间连续、取值连续C.R.P.例：每隔单位时间对噪声电压抽样n0212345()Xn（4）时间离散、取值连续C.R.Seq.按照样本函数的形式分类可预测过程：对于任一条样本函数的未来取值可由过去值准确预测。不可预测过程：对于样本函数的未来取值不可由过去值准确预测。按照随机过程的分布函数特性分类按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程，其次是高斯过程、马尔可夫过程、独立增量过程等等。Brown运动随机游动Poisson过程Markov过程ARMA（自回归滑动平均)状态空间模型典型随机过程例1设具有随机初始相位的正弦波ttwAtX,cos0其中A与w0是正常数，在20，之间服从均匀分布。判断X(t)是否为一随机过程。解：(1)固定时间t，X(t)是随机变量，ttX，是一族随机变量(2)对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ，twAtX0cos是随时间变化的函数，即样本函数。X(t)是一随机过程。(;)[()]XFxtPXtx一维概率分布函数定义：一维概率密度函数定义：(;)(;)XXdfxtFxtdx2.一阶（维）概率分布和密度函数4.2随机过程的统计特性4.2.1随机过程的概率分布1.一维概率分布txfX(x;t)二维概率分布函数定义：二维概率密度函数定义：12121122(,;,)[(),()]XFxxttPXtxXtx21212121212(,;,)(,;,)XXfxxttFxxttxx分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量二维概率分布和密度函数构成n维随机变量即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数为随机过程在任意n个时刻的取值)(tXnttt,,,21)(,),(),(21ntXtXtX)](,),(),([21ntXtXtX)(tX})(,,)(,)({),,,;,,,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(n维概率分布1.数学期望dxtxxftXEtmX);()]([)(显然，是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：)(tmX4.2.2随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。t1t2t3t4随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。我们把二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：)(tX)(tX)(tXdxtxfxtXEtXX);()]([)(222]))()([()]([)]([)(222tmtXEtXEtXDtXX222)()]([)(tmtXEtXX且2.均方值和方差物理意义：如果表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。)(tX)]([2tXE)]([tXD标准差或均方差：)()]([ttXDX＝均值、方差和样本函数的关系方差表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。相同均值方差的两个随机过程3.自相关函数均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用描述。),(21ttRX)]()([),(2121tXtXEttRX21212121),;,(dxdxttxxfXxx若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。12(,)XCtt12(,)XCtt))]()())(()([(1111tmtXtmtXEXX211111)]()()][()([dxdxtmtXtmtXXX4.自协方差函数比较自协方差和自相关函数的关系))]()())(()([(),(111121tmtXtmtXEttCXXX)()()]([)()]([)()]()([21121121tmtmtXEtmtXEtmtXtXEXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX比较自协方差和方差的关系212(,)(,)[(()())]XXXCttCttEXtmt)()]([2ttXDXttt21令则例：求随机相应正弦波的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中，为常数，是区间[0，]上均匀分布的随机变量。0()sin()xtt02解：由题可知：000()[()][sin()][sincoscossin]xmtExtEtEtt（1）0000[sincos][cossin]sin[cos]cos[sin]EtEttEtE＝22001[cos]cos()cos02Efdd[sin]0E同理()0xmt（2）方差22222()()()()[()]xxxxttmttExt200011[sin()][1cos(22)][1cos(22)]22EtEtEt＝0011[cos(2)cos2]sin2sin2]2EtEt＝001[1cos2[cos2]sin2[sin2]2tEtE＝可知[sin2][cos2]0EE21()2xt020101211cos()cos()22tttt（3）自相关函数12(,)xRtt12[()()]Extxt＝1200sin()sin()]Ett＝122100001[cos(2)cos()]2Etttt＝（4）一维概率密度在0,2范围内，每个x=sin(w0t+θ)对应两个θ值：22-0tw2320tw和xfxftxf2211,所以由于twxx01arcsintwxx02arcsin22111xxx其它,01,11,2xxtxf1.随机信号的n＋m维联合概率分布和密度函数两个不同r.s.X(t)与Y(t)之间的联合概率特性。对随机信号X(t)任取时，获得n个随机变量;nttt,...,,21)(),...,(),(21ntXtXtX对随机信号Y(t)任取时，获得m个随机变量。msss,...,,21)(),...,(),(21msYsYsY随机过程联合特性t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t定义n＋m维联合概率分布函数为:定义n＋m维联合概率密度函数为:11111111(,,;,,;,,;,,)();;();();;()XYnmnmnnmmFxxyyttssPXtxXtxYsyYsy1111()111111(,,;,,;,,;,,)(,...,;,...,;,...,;,...,)......XYnmnmnmXYnmnmnmfxxyyttssFxxyyttssxxyy两个不同随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性互相关函数定义为:12(,)XYRtt互协方差函数定义为:12(,)XYCtt1212(,)()()XYXYRttmtmt12()()EXtYt1122()()()()XYEXtmtYtmt2.随机信号的互相关函数与互协方差函数互相关系数定义为:121212(,)(,)()()XYXYXYCtttttt21,tt(1)正交:对于任意时刻,都有则称X(t)与Y(t)正交。1212(,)(,)0XYYXRttRtt成立(2)线性无关:对于任意时刻,都有21,tt1212(,)(,)0XYYXCttCtt成立则称X(t)与Y(t)线性无关。3.两个随机信号正交、线性无关与统计独立（3）统计独立:对于X(t)和Y(t)的任一组随机变量,都有11111111(,,,;,,,)(,;,)(,;,)XYnnnmXnnYnmFxxyyttssFxxttFyyss成立则称X(t)与Y(t)彼此统计独立。两个随机信号的正交、线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同。1