随机微分方程

一、一维分岔考虑一维随机微分方程dX=mXdt+XdBt=mX+XX/2dt+XdBt6.141生成的连续动态系统tt00tx=x+msxdx+sxdBs6.142()它是以x为初值的（6.1-41）之唯一强解。假定m0=00=06.143，（）从而0是的一个固定点。对此固定点，dB(t)是随机参激。设m(x)有界，对所有 x0满足椭圆性条件()06.144x()这保证最多只有一个平稳概率密度。求解与（6.1-41）相应的平稳FPK方程得平稳概率密度1202mu pxCxexp[]6.145uxdu（）于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。前者的不变测度0的密度为x，后者的不变测度的密度为（6.1-45）。为研究D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov指数。为此，考虑（6.1-41）的线性化方程dV=mXVdt+XVdBt=[m(X)((X)(X))/2]VdtVdBt6.146（）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解tt00Vt=V0exp[(m+/2)Xds+XdBs]6.147（）动态系统关于测度的Lyapunov指数定义为1limlnVt6.148tt（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意00，得不动点Lyapunov指数0001()lim[ln000]00lim0(6.1-49)?ttttBtVmdsdBsmmtt对以（6.1-45）为密度的不变测度，（6.1-47）代入（6.1-48），假定有界，m/2可积，得Lyapunov指数01lim(m/2)(X)ds[m(x)(x)(x)/2]p(x)dx6.150ttRt（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得2m(x)-2p(x)dx06.151(x)R（）随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形2dXXXdtXdBt6.152（）生成的动态系统族0exp[()] 6.1531[()]txtBttxxsBsds（）（6.1-53）是以x为初值的（6.1-52）之解。先作变换1YX，将（6.1-52）化为关于Y的线性Itô随机微分方程，再按2.5.3中方法得（6.1-53）。0时，该动态系统存在确定性跨临界分岔。0时，对应于两个确定性平衡状态 x0与 x有两个遍历不变测度。一个不变测度为，其密度为x，对所有值成立。另一个不变测度的密度在0时为22/12Cxexp(2x/),x0px6.1540,x0（）21222/C=(2/)(/2)6.155（）按（6.1-49），关于不动点不变测度的Lyapunov指数为6.156（）由（6.1-51）与（6.1-54），可得关于非平凡平稳状态不变测度的Lyapunov指数6.157（）可知，不动点不变测度在0时稳定，而非平凡平稳状态不变测度在0时稳定，从而，D0是一个D-分岔点。对概率密度（6.1-54）作极值分析知，除0（是一个D-分岔点，也可看成是一个P-分岔点，因为从负变正，概率密度从函数变成峰在 x0上的普通概率密度）外，在2p/2处发生P-分岔。当p0时，概率密度在 x0处最大，随x单调下降。而p时，概率密度在 x0处有一个峰，且 p00。随机叉形分岔考虑（6.1-41）的另一个特殊情形3dXXXdtXdBt6.158（）生成的动态系统1/220xexptBttx=(6.159)12xexp2sBsdst0时，动态系统有确定性叉形分岔；0,0时，只有唯一的不变测度，其密度为x。0,0时，与确定性动态系统的三个平衡状态相对应有三个不变测度：与两个非平凡平稳状态测度，其密度为22/12Cxexp(x/),x0px6.1-600,x0pxp-x6.161（）（）式中2-12-2α/σ αC=Γ(α/σ )σ。按（6.1-49）可得关于的Lyapunov指数6.162（）由（6.1-51）、（6.1-60）及（6.1-61）可得关于的Lyapunov指数26.163（）可知，在D0＝＝处发生D-分岔。对概率密度（6.1-60）作极值分析知，在2p/2＝处发生P-分岔。二、二维分岔考虑Gauss白噪声参激的Duffing-vanderPol振子2322121121dXdt6.164dX(XXXXX)dtXdBt（）有两个参数与。已知，在0时，固定，改变，可发生叉形分岔；固定，改变，可发生Hopf分岔。随机Hopf分岔设0，固定0，增大使之穿越0。从数值求解与（6.1-64）相应的平稳FPK方程观察到[26],当足够负时，概率密度为在（0，0）上的函数，说明（0，0）是稳定平衡状态。当增大至1D0时，出现峰在（0，0）上的非平凡平稳概率密度，说明此时（0，0）是不稳定的平衡状态，1D实际上是一个D-分岔点。继续增大至p，非平凡概率密度变成火山口形，因此，p是一个P-分岔点。1Dp(,)被Ebeling[27]称为“分岔区”。这是随机Duffing-vanderPol振子的P-分岔过程。为研究随机Duffing-vanderPol振子的D-分岔，需计算（6.1-64）在（0，0）处线性化方程0100  6.16510dVVdtVdBt（）的Lyapunov指数。当1时，已证[25]两个Lyapunov指数为2221,2 ,/2(/4)(,)6.166C（）式中是下列扩散过程平稳测度的二阶矩：622-6.167/12-(/2-1)?dZUZdtdBtUZZZ（）在10D处1 从负变正，在210DD处2 从负变正，对小值，用摄动法求得2241,2,/2/8O()6.168d（）式中22d/2。在1224/40DdO处1 从负变正，在2224/40DdO处2 从负变正。Keller与Ochs[29]通过数值分析发现，当1D（即210）时（0，0）是全局吸引子。当12DD（即210）时（0，0）变成不稳定鞍点，它的一维不稳定流形的闭包是一个“混沌”吸引子，闭包的横截面像Canton集。当2D（即210）时，（0，0）22(,)C是不稳定节点，它的二维不稳定流形的边界是在穿孔平面2 R\0上新吸引子，该边界也有像Canton集的横截面。随机叉形分岔在（6.1-64）中，固定0，让从负变正。从相应平稳FPK方程的数值解知，直至稍大于零，是唯一的不变测度。当D0时，产生一个非平凡的平稳测度，它的密度在（0，0）处有一个峰；继续增大，非平凡平稳测度的密度有两个峰，可知，随增大，先后经历了一次D-分岔与一次P-分岔。用摄动法可求得Lyapunov指数2241,22,()(6.1-69)248/4O1在24D1/2O()?0处改变符号，而2总是小于0。因此，只有一次D-分岔。（6.1-64）的平稳概率密度可用能量包线随机平均法近似求得，据此可分析P-分岔与第一次D-分岔[30]。