随机波动模型及其扩展

7.1基本SV模型及其统计性质随机波动：波动率是衡量某一段时间内金融产品价格变动程度的数值。随机波动侧重于指时间序列的随机部分。在金融学中，随机波动性定义为一个连续的差分模型中随机维纳部分的标准差或协方差。随机波动率模型：是把收益率的扰动项假设为不可观测，服从一个随机过程的变量，是一个动态波动特征的模型。离散SV模型22122,1,2,...,(71)lnln(71){}{}.(0,1).(0,)1ttttttttttttttSVytTabytiiNiiN基本的离散模型如下：其中表示消去均值后第期的收益，和是相互独立的，是一个鞅差分序列，绕动项和可以是同期相关的。一般假定，且未知。，为常数，为持续性参数，反映了当前波动对未来波动的影响，。22121lnSV(71)(71)(72),1(72)tttthtttttthttttthyechhdhARMASVyeahhb如果取则以上模型可写成：这里可以扩展为一个过程。另一种模型的形式如下：式中是比例参数，表示平均波动水平。SV模型的统计性质2222--.{}{}.{}{}.{}[exp()]exp(/2){}.{}{}{}()tttttthhtttttaybhycEahaahdyVary对于（71）和（72）构成的基本随机波动模型有如下统计性质：（1）一般性质是鞅差分过程（基于是鞅差分序列）。平稳则意味着平稳。如果服从正态分布，则由对数正态分布的性质有其中为常数，是的方差。如果服从正态分布，存在有限方差，则的方差为2222exp(/2).{}{}(){}.{}htthtteyexpfy若具有四阶矩，则的峰度为，这里是的峰度。的所有奇数阶矩为零。222,()222222,.{}{}{}{}exp()[]{[]}4[]{[]}exp()141,0.5,0[]/{[]},0,1,1,...2ttttCCChhtttCCCttChCCCtthtCayCACFCEyyEyCEyEyCCEyEyhACFC（2）自相关函数如果和相互独立，服从正态分布，则绝对值得次幂的为其中而表示的。当时，就3.Cty为的峰度，在正态分布下为22(),22(),(1/2)(1/2)/{(/21/2)},0{}(1/2)(/2)(1/2)(/2){(/21/2)(/2/2)}/20.{}1{}exp()14CtCtChhthChCCCCtCCCCCCbhACFhACFC一般地有而当服从自由度为的分布时，有其中，。的性质当较小，或接近，则的与有如下关系：22(),1exp()14{}{}htCCtCt当服从分布时，随着趋于无穷而递减。对于正态的，上式的近似式使取得最大值。22222222222ln(72)lnlnlnlnln,ln[ln],...(0,){}{ln}[lnttttttttttttttttzyazyhzyhEiidE（3）模型的线性表示随机波动模型的一个重要的性质是它可以转化为一个线性表达式。令，对式两边平方取对数，可得或写为其中。如果服从标准正态分布，服从对数分布。根据相关文献结果此时有：222]1.27,(ln)4.932ttVar7.2扩展的SV模型1122201((1)/2)()[(2)][1](/2)243,4tttSVtSVtSVttft①模型假定模型的扰动部分服从自由度为的分布，则为模型，扰动部分服从均值为，方差为的正规化分布，即其中参数为自由度。当时，分布的峰度大于时就变成正态分布，时其峰度不存在。厚尾SV模型11/2/1/2-3()011{()}2(),02(1/)2(1/)[2](3/)223tcttccSVGEDGEDSVGEDGEDcespfccccccGEDc②模型另一种峰度大于的分布是广义误差分布，在模型下，扰动部分服从均值为方差为的正规化，这时其中这里为自由度，当时，为正态分布，时期峰度大于，为厚尾分布。一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长记忆性。含有外生因素的SV模型2112211WatanabeSVexp(/2),...(0,1),...(0,1)exp(/2)ttttttttttttttttyabybycdDhiidhhDyiidh金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应，成交量等。在分析东京股市收益时，将基本模型扩展为：其中表示测度序列2110tttDcycd的波动，是表示周末效应的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取，其余时间取。上式中的项是刻画风险溢价的，而是刻画当期收益与未来收益波动的相关性。实证表明，参数，，和都具有较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。含有前期观测影响的SV模型2211SVln{}{}{}{}()thttnttititittttiyehhyhnAICRMSERMSESV考虑前期观测对当前波动的影响，将基本模型扩展为：其中和是互不相关的白噪声序列，且和不相关。，，为常数。为模型中待定阶数，可通过准则或模型的均方误差（）准则使值最小来确定。该模型可以很好的描述股票市场的波动集群性和波动持续性现象。和模型相比，在描述金融波动性方面有一定的优越性。考虑预期收益的SV模型1*221*,..(0,1),..(0,){}{}ttttttttthttttttttttyiiNabydehhiiNytthd为了研究风险与预期收益的关系，引入ＳＶ－Ｍ模型如下：其中为时刻的超额收益，为时刻的预期收益，为对数波动，是尺度因子为一个正常数，与是互不相关的白噪声过程，为波动持续性参数，度量了波动对预期收益影响的参数。马尔科夫转换SV模型121111211211212SVMSSVexp(),..(0,1)2()()(),..(0,1)()()(1)()()(1)()()(1)ttttttttttttttttthyiiNhSShSiiNSSSSSS把马尔科夫转换机制进入到模型中，我们得到马尔科夫转换随机波动模型（）如下：其中式中，，，，211212{1,2},()(|),.1,1tijijttiijjStSPppPSjSiijSpppp，是待估参数，用来描述系统在时间的不可观测到的状态，它被假定为时齐的一阶马尔科夫链，其状态空间为转换矩阵，而且。长记忆SV模型（LMSV）2ARFIMASVexp(/2),...(0,1)(1)()(),..(0,)()()0.50.5ttttdtttyhiidLLhLiiNLLdLMSV为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，把过程纳入到基本模型中，提出了一类长记忆随机波动模型如下：其中和为滞后算子多项式，他们的特征根都在单位圆外，且。这样的模型极为。分整随机波动模型FISV22LMSV,...(0,1)ln{}(1)(1),..(0,){}{}tttttttdtttttyiidhhLLhiiNFISV另一类模型为且，而满足其中与香相独立。这类模型也是一类简单的分整随机波动模型（）。Box-Cox–SV模型22122Box-Cox-SVSV(,)[(,)]-{}{}(0,1)(,)(,)10(,)0lnBox-Cox-SV()1ttttttttttyhhNhhxBoxCoxxhxx模型是一类重要的非线性模型，基本模型如下：（714）和是两个不相关的序列，是以参数为指标的平滑函数，这里取变换：因此，模型的波动部分可写作：21()1[](0)tt21/211/(,)-[(,)]()(,)=0(1)(,)0exp()tttttttttttttttthhyghghhghgBoxCoxhgghh如果记，则（714）可以改写为其中是变幻的逆函数，有向量SV模型11,1SV{Y},Y(,...,)(),1,2,...,;1,2,...,2(,...,)1,tttNtititititttNtijitiitityyhyexpiNtTyitNhh单变量模型可以推广到向量的情形。设有N维随机过程这里是观测序列在时刻的值，且随机向量为维正态过程，具有零均值和协方差矩阵，中对角线元素为，非对角线元素为，且为对称矩阵。1..(0,1)(,...,)(0,)itttNttiiNN取，这里的白噪声，而是正定矩阵。,1121*1*1,..(0,1)exp()2(ln,ln,...,ln)2(,...,)ititititititittttNttttttttttttNthhhiiNhvWvvv常用情况用表示为：如取令，可以表示为一个一阶自回归的形式：或其中，是一个维系数矩阵，。12111SVN{Y},Y(,...,),1,...,()(0,),1,...,,(,...,)Y(,...,)(,...,)tttNtitiitittttitiNtttNtttNttyyyUViNYdiagUVUNiNUUUNVVVV向量模型更为一般的形式为：设维随机过程其分量可以表示为或用矩阵的形式其中为的无条件均值，为为白噪声，且与相独立，中各分量取正值。1001()(),..(0,)()()()()()((1)...(1))(),...,(0.5,0.5)ttttddNttNhARMALhLiiNLILIpqLdiagLLhLddZ推广到长记忆情况，假定向量服从向量过程：其中，分别为阶和阶滞后算子矩阵多项式。如果在上式引入分数差分算子矩阵多项式：其中的可以是分数，取值范围是。这样长记忆向量随机波动模型为：1211.27()((1)...(1))()(,...,),ln,(1,...,1).tttddNttttNtititlhLdiagLLhLZzzzyl其中7.3SV模型的参数估计方法7.3.1伪极大似然方法222221122=(){},{},(|)(,|)TTTTttttttRtttyyySVLfyfydx基本SV模型共有三个未知参数：,,。令,,其中是方差，模型似然函数为：其中f(.|.)表示条件密度，T为观测样本容量。由于似然函数是一个T重积分，且该积分不具有解析表达式QML把SV基本模型转换为线性状态空间形式：z12222=ln,,=ln.1-1.27/2ttttttttttttxxyxhx其中z是不可观测的变量，服从自由度为的对数分布，的均值和方差分别为和。|12|11|01|021|01|01=1.27/2(),||1,1lnln2ln22ttttttttttttttTtfxfPPxxPxxPTLf