随机过程与排队论04.

随机过程与排队论计算机科学与工程学院顾小丰Email：[e-mail]2019年12月14日星期六2019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰上一讲内容回顾随机变量的数字特征•数学期望•方差•k阶矩•协方差条件数学期望随机变量的特征函数38－22019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰本讲主要内容随机过程的基本概念•随机过程的定义•随机过程的分布•随机过程的数字特征重要随机过程•独立过程•独立增量过程38－32019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰第二章随机过程的基本概念随机过程的引入随机过程的定义随机过程的分布随机过程的数字特征几种重要的随机过程38－42019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰一、随机过程的引入在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程。随机过程产生于二十世纪初，起源于统计物理学领域，布朗运动和热噪声是随机过程的最早例子。随机过程理论社会科学、自然科学和工程技术的各个领域中都有着广泛的应用。例如：现代电子技术、现代通信、自动控制、系统工程的可靠性工程、市场经济的预测和控制、随机服务系统的排队论、储存论、生物医学工程、人口的预测和控制等等。只要研究随时间变化的动态系统的随机现象的统计规律，就要用到随机过程的理论。38－51.关注对象是一族随时间或地点变化的随机变量;2.需要研究这一族随机变量的整体或局部统计规律性;2019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰38－62019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰设有一个生物群体，由于繁殖而产生后代，对于固定的n(n≥1)，令X(n,)表示第n代生物群体的个数，X(n,)是随机变量，可取非负整数值0,1,2,…，而X(n,),n=0,1,2,…是一族随机变量，即一个随机过程。例电话问题设X(t,)表示某电话台在[0,t)时间内收到用户的呼唤次数。对某个固定的t(0t)，X(t,)是一个随机变量，它可以是任意非负整数，随着时间t的变化，就得到一族随机变量X(t,)，0t，即一个随机过程。悬浮在液体中的微粒由于分子的随机碰撞而作布朗运动。设X(t,)表示时刻t微粒所处位置的横座标，当t变化时，X(t,)，0t，是一族随机变量，即一个随机过程。电子元件或器件由于内部电子的随机热运动所引起的端电压X(t,)称为热噪声电压。对于固定的t0，X(t,)是一个随机变量，随着t的变化得到一族随机变量X(t,)，t0，是一个随机过程。布朗运动热噪声生物群体38－72019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰二、随机过程的定义设(Ω,F,P)是一个概率空间，T是一个参数集(TR)，X(t,)，tT，Ω是TΩ上的二元函数，如果对于每一个tT，X(t,)是(Ω,F,P)上的随机变量，则称随机变量族{X(t,)，tT}为定义在(Ω,F,P)上的随机过程(或随机函数)。简记为{X(t)，tT}，其中t称为参数，T称为参数集。38－82019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰样本函数与状态空间随机过程X(t,)是定义在TΩ上的二元函数：一方面，当tT固定时，X(t,)是定义在Ω上的随机变量；另一方面，当Ω固定时，X(t,)是定义在T上的函数，称为随机过程的样本函数。随机过程在时刻t所取的值X(t)=x称为时刻t时随机过程{X(t),tT}处于状态x，随机过程{X(t),tT}所有状态构成的集合称为状态空间，记为E，即：E＝{x：X(t)=x,tT}38－92019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰随机过程的分类1.按状态空间和参数集分类2.按概率分布规律分类独立过程独立增量过程正态过程泊松过程参数集T离散连续状态空间E离散(离散参数)链(连续参数)链连续随机序列随机过程维纳过程平稳过程马尔可夫过程……38－102019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰三、随机过程的分布设{X(t),tT}是一个随机过程，对于每一个tT，X(t)是一个随机变量，它的分布函数F(t,x)＝P{X(t)x}，tT，xR=(-,+)称为随机过程{X(t),tT}的一维分布函数。如果对于每一个tT，随机变量X(t)是连续型随机变量，存在非负可积函数f(t,x)，使得Rx,Tt,dy)y,t(f)x,t(Fx则称f(t,x)，tT,xR为随机过程{X(t),tT}的一维概率密度(函数)。此时f(t,x)＝F’x(t,x)，tT，xR38－112019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰二维分布函数设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意s,tT，(X(s),X(t))是一个二维随机变量，它的联合分布函数F(s,t;x,y)＝P{X(s)x,X(t)y}，tT，xR称为随机过程{X(t),tT}的二维分布函数。38－122019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰二维概率密度如果(X(s),X(t))是连续型二维随机变量，存在非负可积函数f(s,t;x,y)，使得Ry,xTt,s,dvdu)v,u;t,s(f)y,x;t,s(Fxy成立，则称f(s,t;x,y)，s,tT，x,yR为随机过程{X(t),tT}的二维概率密度(函数)。此时yx)y,x;t,s(F)y,x;t,s(f238－132019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰n维分布函数设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的联合分布函数F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)＝P{X(t1)x1,X(t2)x2,…,X(tn)xn}，t1,t2,…,tnT，x1,x2,…,xnR称为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数。38－142019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰n维概率密度如果(X(t1),X(t2),…,X(tn))是连续型n维随机变量，存在非负可积函数f(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)，使得,dududu)u,,u,u;t,,t,t(f)x,,x,x;t,,t,t(F12nxnx2x1n21n21n21n21t1,t2,…,tnT；x1,x2,…,xnR成立，则称f(t1,t2,…,tnT；x1,x2,…,xn)为随机过程{X(t),tT}的n维概率密度(函数)。此时n21n21n21nn21n21xxx)x,,x,x;t,,t,t(F)x,,x,x;t,,t,t(f38－152019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰n+m维联合分布函数设{X(t),tT}和{Y(t),tT}是两个随机过程，对任意s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tmT，把n+m维随机变量(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))的联合分布函数FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝P{X(s1)x1,X(s2)x2,…,X(sn)xn,Y(t1)y1,Y(t2)y2,…,Y(tm)ym}，t1,t2,…,tnT，x1,x2,…,xnR称为随机过程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的n+m维联合分布函数。38－162019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰n+m维联合概率密度),y,y,,x,;x,t,t,,s,(sFm1n1m1n1XY成立，则称fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)为随机过程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的n+m维联合概率密度(函数)。如果(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))是连续型n+m维随机变量，存在非负可积函数fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)，使得1n1mxxyym1n1XY;,t,t,,s,(sfm1n1m1n1dvdvdu)du,v,v,,u,u38－172019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰相互独立的随机过程设{X(t),tT}和{Y(t),tT}是两个随机过程，如果对任意n,m1，其n+m维联合分布满足FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝FX(s1,s2,…,sn;x1,x2,…,xn)·FY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)或者其n+m维联合概率密度满足fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝fX(s1,s2,…,sn;x1,x2,…,xn)·fY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)则称随机过程{X(t),tT}和{Y(t),tT}的相互独立。38－182019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰n维特征函数随机过程{X(t),tT}的n维特征函数定义为(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)}E{e)]X(tu)X(tu)X(ti[unn2211称{(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)，t1,t2,…,tnT，n1}为随机过程{X(t),tT}的有限维特征函数族。38－192019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰例1利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程21,t2,tcos),t(X)t(X＝出现反面＝出现正面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5，试求：1.X(t)的一维分布函数F(0.5,x)和F(1,x)；2.X(t)的二维分布函数F(0.5,1;x,y)。38－202019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰例1(续1)解：1.由X(t)的定义求得概率分布为：X(0.5)01X(1)-12P0.50.5P0.50.5所以一维分布函数为：x111x05.00x0}x)5.0(X{P)x,5.0(Fx212x15.01x0}x)1(X{P)x,1(F38－212019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰例1(续2)2.由于掷硬币试验是相互独立的，故(X(0.5),X(1))的联合概率密度为：X(1)X(0.5)-1200.250.2510.250.25所以二维分布函数为：y2x11)2y1,1x(or)2y,1x0(5.02y1,1x025.0)1y(or)0x(0}y)1(X,x)5.0(X{P)y,x;1,5.0(F，38－222019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰四、随机过程的数字特征给定随机过程{X(t),tT}，称m(t)＝E[X(t)]，tT为随机过程{X(t),tT}的均值函数(数学期望)。若{X(t),tT}的状态空间是离散的，则X(t),tT是离散型随机变量，X(t)的概率分布为pk(t)＝P{X(t)=Xk}，k=1,2,…，则1kkk)t(px)]t(X[E)t(mdx)x,t(xf)]t(X[E)t(m若{X(t),tT}的状态空间是连续的，则X(t),tT是连续型随机变量，X(t)的一维概率密度为f(t,x)为，则38－232019/12/14计算机科学与工程学院顾小丰方差函数给定随机过程{X(t),tT}，称D(t)＝D[X(t)]＝E[X(t)－m(t