随机过程习题

习题一1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2.设随机变量X的概率密度为f（x）＝00012xxxA求：（1）常数A;(2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。3.设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=Asin(x+y),0x,y2求：(1)常数A；（2）数学期望EX，EY；（3）方差DX，DY；(4)协方差及相关系数。4.设随机变量X服从指数分布000)(xxkexfkx0k求特征函数)(x,并求数学期望和方差。5.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和2的泊松分布，试用特征函数求Z=X＋Y随机变量的概率分布。6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。7．设（X，Y）的分布密度为（1）其他，,010,10xy4),(yxyx（2）其他，,010,10xy8),(yxyx问X，Y是否相互独立？8.设（X，Y）的联合分布密度为XY—12—1013191091问：（1），取何值时X，Y不相关；（2），取何值时相互独立。习题二１．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(xfX和)(yfY，定义如下随机过程：YtXtZ)(，Rt试求)(tZ的均值函数)(tm和相关函数),(21ttR。２．从t=0开始每隔21秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量X(t)=掷出反面当时刻掷出正面当时刻tttt,2,cos试求：（1）F（21；x1），F（xt11；）（2）F（21，1；x1，x2）。３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果（tetttXt,,3)试求这个随机过程的一维分布函数族。４．设在时间区间t,0内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。nY为第n个顾客来到的时刻，求nY的分布函数。5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。6.令)(tN表示t,0时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设}{tN是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程，，，，210n)(nX由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。8.求随机过程tXtXsin)(的一维概率密度，其中为常数，X~)1,0(N。9.设复随机过程Z（t）=nkkA1etik，01t，其中Ak（1nk）是相互独立且服从N(0，2k)的随机变量，k(1)nk是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。10.设0t)(，tX为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。11.设随机过程VtXtX0)(，Tt，其中0X，V是相互独立的标准正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。12.设2)(AtVtStX，0t，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证)(tX是一个正态过程。习题三1.一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.2.一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。3.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。4.波利亚（polya）罐子模型波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设Xn表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：Xn=i，ir，I={0，1，2，···，}不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{Xn，n0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。5.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为2.07.01.04.03.03.01.05.04.01P初始分布行矩阵为8.01.01.0)0(P，试求)2(P并指出经过两个季节水库蓄满的概率。7．一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设2n,21n,1开关处于状态在时刻开关处于状态在时刻nX又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。（1）试写出马氏链0,nXn的一步转移矩阵；（2）设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。8．设马氏链的状态空间为}3,2,1{I,其进一步转移矩阵为32310313131021211P试研究各状态间的关系。9．设马氏链0,nXn的状态空间2,1,0I,其一步转移矩阵为32310414121021211P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。10．设马氏链0,nXn的状态空间3,2,1,0I,其一步转移矩阵为1000818141210021210021211P试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。11．设马氏链}0,{nXn的状态空间}2,1,0{I,其一步转移矩阵为0212121021212101P试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。12．天气预报问题若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为，今日无雨、明日也有雨的概率为。试求：（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设).4.0,7.0。13．考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n阶段接受的数nX，试求进入第1阶段的数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。14．设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态：无损害称为状态1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态5。设一步转移概率为100008.02.00001.05.04.00001.04.05.000002.08.01P又设初始分布为0)5(,0)4(,0)3(,0)2(,1)1(00000ppppp试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少？15．设某河流每日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链}1,{nXn，状态空间}4,3,2,1{I是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以天为单位）4.04.02.001.06.025.005.01.02.05..02.001.04.05.01P如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。（1）说明此马氏链为不可约非周期正常返链；（2）求此链的平稳分布；（3）求河流再次到达污染的平均时间4。16.设马氏链的状态空间}4,3,2,1{I，其一步转移矩阵为0010021210000131313101P试对其状态分类。17.设马氏链的状态空间}5,4,3,2,1{I，其一步转移矩阵为00001000016.04.00008.02.0000005.05.001P试研究各状态的类及周期性。18.设马氏链的状态空间为}3,2,1{I，其一步转移矩阵为10005.05.005.05.01P试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。19.设马氏链的状态空间为}4,3,2,1{I，其一步转移矩阵为02.02.06.0007.03.0000101001P试对各状态进行分类。20.设0),(ttX为一个时间连续的马氏链，其状态空间}1,0{I。假定)(tX在时间段t内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为)(tot，未曾改变状态的概率为)(1tot，而在这段时间内改变多于一次的概率为)(to。试求时间t时的转移概率)(tPij（i,j=0，1）。习题四1.已知随机过程X(t)的自相关函数为RX()=2exp｛－｝，试判断其连续性和可微性。2.随机初相信号X(t)=Acos(t+)，试中A和均为常数，已知mX(t)=0,RX()=A2cost/2,=t－s。信号X(t)在时间T内的积分值为Y(T)=T0X(t)dt,试求Y(T)的均值和方差。3.讨论随机过程X(t)=At2+Bt+C,(其中A，B，C独立同分布且服从N(0,2))的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=t1t0X(s)ds的均值函数和相关函数。4.讨论随机过程X(t)，(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/[a2+(s－t)2])的均方连续性、均方可微性和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=t1t0X(s)ds的均值函数和相关函数。习题五1.设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为证明Z(t)是宽平稳过程。2．设tBtAtXsincos)(，其中是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布),0(2N的随机变量，试证明)(tZ是平稳过程。3．设随机过程ttXcos)(，其中是在2,0上均匀分布的随机变量，试证(1)nnXXncos)(，,2,1,0n是一个平稳序列。（2）)(tX，,t，不是一个平稳过程。XY-12P2/31/34．设随机过程)()(tftX其中)(tf是周期为T的波形，在区间内为均匀分布的随机变量，证明)(tX是平稳过程。5.设随机过程)(tX由下列三个样本函数组成，且等概率发生，1),(1etX，tetXsin),(2，tetXcos),(3问：（1）计算均值)(tmx和自相关函数),(21ttRx；（2）该随机过程)(tX是否平稳。6.设随机过程X(t)=Asin(2θ1t+θ2)其中A为常数，θ1和θ2为相互独立的随机变量。θ1的概率密度为偶函数，θ2在,.内均匀分布。证明：（