2012年浙江高考理科数学试题及解析

第1页2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(CRB)＝A．(1，4)B．(3，4)C．(1，3)D．(1，2)【解析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(CRB)＝(1，4)．【答案】A2．已知i是虚数单位，则3+i1i＝A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i【解析】3+i1i＝3+i1+i2＝2+4i2＝1＋2i．【答案】D3．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有：211aa，解之得：a＝1ora＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是第2页【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y2＝cos(x—1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x—1)．令x＝0，得：y3＞0；x＝12，得：y3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a，b是两个非零向量．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；第3页2个偶数，2个奇数：225460CC种；4个都是奇数：455C种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的nN*，均有Sn＞0D．若对任意的nN*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn＞0不成立．【答案】C8．如图，F1，F2分别是双曲线C：22221xyab(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A．233B．62C．2D．3【解析】如图：|OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝bc，kMN＝﹣bc．直线PQ为：y＝bc(x＋c)，两条渐近线为：y＝bax．由()byxccbyxa＝＋＝，得：Q(acca，bcca)；由()byxccbyxa＝＋＝-，得：P(acca，bcca)．∴直线MN为：y－bcca＝﹣bc(x－acca)，令y＝0得：xM＝322cca．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝322cca，解之得：2232acea，即e＝62．第4页【答案】B9．设a＞0，b＞0A．若2223abab，则a＞bB．若2223abab，则a＜bC．若2223abab，则a＞bD．若2223abab，则a＜b【解析】若2223abab，必有2222abab．构造函数：22xfxx，则2ln220xfx恒成立，故有函数22xfxx在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．【答案】C非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11312123．第5页【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T，i关系如下图：T112161241120i23456【答案】112013．设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为{Sn}．若2232Sa，4432Sa，则q＝______________．【解析】将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a，q表示的式子．即111233111113232aaqaqaaqaqaqaq，两式作差得：2321113(1)aqaqaqq，即：2230qq，解之得：312qorq(舍去)．【答案】3214．若将函数5fxx表示为250125111fxaaxaxax其中0a，1a，2a，…，5a为实数，则3a＝______________．【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100aCaaaCaCaa．法二：对等式：2550125111fxxaaxaxax两边连续对x求导三次得：2234560624(1)60(1)xaaxax，再运用赋值法，令1x得：3606a，即310a．【答案】10第6页15．在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则ABAC＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．cos∠BAC＝3434102923434．ABAC＝cos29ABACBAC【答案】2916．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．【解析】C2：x2＋(y＋4)2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：0(4)222d，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为22ddrd．另一方面：曲线C1：y＝x2＋a，令20yx，得：12x，曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(12，14a)，111()72442422aada．【答案】7417．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝______________．【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A)2(1)1010axxax－－－－，无解；(B)2(1)1010axxax－－－－，无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P(0，1)．考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(11a，0)，还可分析得：a＞1；考查函数y2＝x2－ax－1：显然过点M(11a，0)，代入得：211011aaa，解之第7页得：2a，舍去2a，得答案：2a．【答案】2a三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝2，求ABC的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。(Ⅰ)∵cosA＝23＞0，∴sinA＝251cos3A，又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝53cosC＋23sinC．整理得：tanC＝5．(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝56又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c．(1)对角A运用余弦定理：cosA＝222223bcabc．(2)解(1)(2)得：3borb＝33(舍去)．第8页∴ABC的面积为：S＝52．【答案】(Ⅰ)5；(Ⅱ)52．19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42CPXC；21543920(4)42CCPXC;12543915(5)42CCPXC；34392(6)42CPXC．故，所求X的分布列为X3456P542201042211554214214221(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝6491()21iiPXi．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)9121．20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。(Ⅰ)如图连接BD.∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．第9页又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，26)，M(32，32，0)，N(3，0，0)，C(3，3，0)．设Q(x，y，z)，则(33)(3326)CQxyzCP，，，，，．∵(3326)CQCP，，，∴(333326)Q，，．由0OQCPOQCP，得：13．即：2326(2)33Q，，．对于平面AMN：设其法向量为()nabc，，．∵33(0)=(300)22AMAN，，，，，．则33330012230300aAMnabbANnac．∴31(0)