《点到直线的距离》教案

2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛12006年全国中学青年数学教师优秀课比赛《点到直线的距离》教案四川省成都市第七中学数学组杜晓雯【课题】点到直线的距离【教材】全日制普通高级中学教科书（必修）第二册（上）人民教育出版社【授课教师】杜晓雯一．教学目标1．教材分析⑴教学内容《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上），“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．⑵地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2．学情分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛23．教学目标依据新课程标准的理念和学生情况，制定如下教学目标．⑴知识技能①理解点到直线的距离公式的推导过程；②掌握点到直线的距离公式；③掌握点到直线的距离公式的应用．⑵数学思考①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．⑶解决问题①通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；②由探索点2,0P到直线0xy的距离，推广到探索点00,Pxy到直线0AxByC22AB0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．⑷情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．二．教学重点、难点1．教学重点⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；⑵点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛3三．教学过程教学环节活动说明创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．现实模型：①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离（图片欣赏）②生活实例（flash动画演示）模型直观回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？1．点到直线的距离公式的推导过程（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）问题1如何求点(2,0)P到直线0xy的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？方法①利用三角函数解：过点P作l的垂线PQ，垂足为,Q:0,45,2,0,lxyQOPP2,OP2sin45222PQOP教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题．但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性．方法②利用定义解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q:0,2,0,:2,lxyPPQyx1,2,.21yxxxxyxy学生：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q，垂线段PQ的长度就是点P到直线l的距离．点P与直线l上所有点的连线中，垂线段最短．问题1学生作图后，结合图象，分组讨论怎样计算PQ．方法①利用三角函数学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决．方法②利用定义（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）学生：利用定义解决问题．在复习旧知的基础上引人新课．由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．新课引入探索思考教师活动学生活动xyO:0lxy·2,0PQ·2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛4221,1,21012.QPQ方法③利用函数的思想解：设直线l上的点00(,)Qxy，则minPldQP直线，000,0,xyxy22220000020(2)442(1)22.QPxyxxxx当01x时，取得等号，即点1,1.Q教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题．强调：⑴点00(,)Qxy在直线l上，故00xy、满足直线方程；⑵当等号成立时，指明此时点Q的坐标，并与方法②得到的点Q的坐标进行比较．方法④利用直角三角形的面积公式教师：由于PQl，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？教师：应该如何构造三角形呢？如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式．解：过点P作lx、轴的垂线PQPR、，交点为点.QR、20,,PyxR，，2,22,2.OPPR,RtOPRORQPOPPR中，方法③利用函数的思想（在前面复习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题．）学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题．学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时点Q的坐标，并与前面两种方法所得答案进行对比．方法④利用直角三角形的面积公式学生：三角形面积公式．学生：过点P作lx、轴的垂线PQPR、，构造RtOPR．对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整．补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1．方法③利用了类比化归的思想，为后面将两平行直线间的距离，转化为点到直线的距离奠定基础．强调数形结合的思想探索思考:0lxy2,0P·QxyO··Q:0lxy2,0P·xyOQR··2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛52222,2.QPQP问题2如何求点(4,2)P到直线220xy的距离？（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．）（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解．）方法①利用三角函数254,tan2,sin.52585sin4.55PSQSPQSPPQSPQSP方法②利用函数的思想设点00(,)Qxy在直线上，则00220.xy22002200020020(4)281645816464855.555QPxyxxxxxx当045x时，取得等号，即点41855Q，．方法③利用定义过点P作l的垂线PQ，设垂足为.Q:220,4,2,1:24,2lxyPPQyx42215,224,.1182425yxxxxyxy22418,,554188542.555QPQ问题2方法①利用三角函数方法②利用函数的思想方法③利用定义改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2．类比问题1，让学生独立思考问题2的不同法．课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．探索思考4,2POxyQ:220lxy···QOxy4,2PQ:220lxy···S·Oxy4,2PQ:220lxy·2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛6方法④利用直角三角形的面积公式过点P作lx、轴、y轴的垂线PQPR、，交点为点QR、、.S,P4，2:220,lxy4,10,0,2,RS4,8,SPPR，中，PRSPQPSRSPRRt854548,.5QPQP问题3如何求点P00(,)xy到直线0AxByC的距离（220AB）？教师：你能否类比问题1、2解决本问？教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？教师：对于00AB或的特殊情况，你可以怎样处理？方法①利用定义的算法思路方法④利用直角三角形的面积公式问题3学生讨论：前面四种证明方法的都可行，但利用三角函数和利用二次函数求最小值的方法，相对要复杂一些．方法①利用定义的算法学生分析解题思路，整理出算法框图．学生的回答可能会忽略00kA即这个条件限制，教师要给予纠正并强调在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法①，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程．探索思考得到点P到l的距离dPQ确定直线l的斜率0kk求过点P垂直于l的直线l的方程求与l垂直的直线l的斜率1kk求l与l的交点Q求点P与点Q的距离4,2PxyQ:220lxyOR·S···:0lAxByCyx00,PxyQO··2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛7方法②利用直角三角形的面积公式的算法思路教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？教师：根据得到的算法思路，请同学们自学教材52P的证明方法．方法③利用平面向量的算法思路教师：直线l的斜率是什么？教师：若向量nl，你能表达n的一个坐标吗？教师：设点,Mxy是直线l上任意一点，则PM的坐标是多少？教师：设PMn与的夹角为，则PMn为多少？教师：结合图象，你能否表示出PQ？直线l的斜率是否存在，主要取决于分母k是否为0，这也是对前面知识的巩固．学生：对于00AB或的特殊情况，可以结合图象直接得出结论．方法②利用直角三角形的面积公式的算法学生：先添作辅助线，过点P作x轴、y轴的垂线交l于点RS、，再利用直角三角形的面积公式进行计算．方法③利用平面向量的算法学生：0AkBB学生容易忽略0B的限制条件，教师给予纠正．学生：,nAB对于方法②，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力．补充的方法③，建立在学生已有的平面向量知识的基础上．课堂上只要求学生理清算法思路，而对于过点P作x轴、y轴的垂线交l于点RS、求出PRPS、利用勾股定理求出RS根据面积相等知dRSPRPS得到点P到l的距离dPQ用00xy、表示点RS、的坐标xyPQRlSO探索思考,Mxy:0lAxByCyx00,PxyQO·······2006年全国中学青年数学教师优秀课比赛82．点到直线的距离公式点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离2200BACByAxd（其中0AB、不同时为）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2？并比较计算结果．对于法向量n的理解是一个难点，同时学生得到的答案可能不统一．教师引导学生从向量共线的角度加以分析，从而帮助学生理解．学生：00,PMxxyy0000,,cosyyBxxABAyyxxnPMnPM学生：2200,,cosBABAyyxxnnPMPMPQ00220022AxByAxByABAxByCAB当00AB或时，以上公式仍然成立．学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调cosPQPM应该加上绝对值符号．师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解⑴从运动的观点来看，点到直线的距离是直线上的