剪力图和弯矩图教程

剪力图和弯矩图以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；例题1图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程FxFQ)((0＜x＜l)FxxM)((0≤x＜l)2.作剪力图和弯矩图由剪力图和弯矩图可知：FlMFFQmaxmax一、根据内力方程作内力图剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系；弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。例题2简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：qlFFByAy21最大剪力发生在梁端，其值为qlFQ21max2.列剪力方程和弯矩方程qxqlqxFxFAyQ21)(222121921)(qxqlxxxFxMAy3.作剪应力图和弯矩图最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax281ql例题3简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力lFaFlFbFByAy,2.列剪力方程和弯矩方程lFbFxFAyQ)(（0xa）lFbxFxMAy)((0≤x≤a)AC段：CB段：lFaFlFbFFxFAyQ)((axl))()()(xllFaaxFxFxMAy(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图例题4简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力lMFlMFeByeAy,2.列剪应力方程和弯矩方程AB段：lMxFeQ)(（0xl）CB段：eeAYMxlMMexFxM)((ax≤l)AC段：xlMexFxMAy)((0≤x≤a)3.绘出剪力图和弯矩图（１）在均布荷载作用段，FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。2.弯矩图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。(2)当q(x)朝下时，0)()(22xqdxxMdM图为上凹下凸。当q(x)朝上时，0)()(22xqdxxMdM图为上凸下凹。二、根据内力图规律做图１.剪力图与荷载的关系(3)在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。(4)在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。(2)当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。3.弯矩图与剪力图的关系(3)剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。解：1.求约束反力例题５简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。kNFkNFByAy15,152.画FQ图各控制点处的FQ值如下：FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.画M图MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mMD右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=0mkNmmmkNmkNME·5.22233/5315例题6一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。解：1.求约束力kNFkNFByAy13,52.画内力图(1)剪力图。ACB段：FQA右=FQC=FQB左=－5kNFQ图为一水平直线BD段：FQ图为右下斜直线。FQB右＝FQB左+13=8kNFQD=0(2)弯矩图AC段：FQ0，故M图为一右上斜直线MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.mCB段：FQ0,故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。MC右=－5kN×2m+12kN.mMB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.mBD段：段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，MB=－8KN.m，MD=0例7外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。解：（1）求梁的支座反力由0Am0221352aqmaRaPB解得kNqaamPRA102431由0Y02qaRRPBA解得kNRqaPRAB52q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP＝3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB（2）画内力图：CA段:q=0，剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线。kNPQQAC30CMkNaPMA8.1AD段:q=0,剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线。kNaPMA8.1kNRPQQADA7mkNaRaPMAD4.22DB段:q0,剪力图为斜直线；弯矩图为抛物线。kNRQBB5qxRxQBax200xQ令：mxqRB5.0mkNmaRaPMAD2.12mkNqRMBE25.12/5.05.020BM根据QB－＝－5kNQC＋＝－3kN、QA＋＝7kN、QA－＝－3kN、QD＝7kN的对应值便可作出图(b)所示的剪力图。可见，在AD段剪力最大，kNQ7maxmkNMMD4.2max（Q）（M）q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP＝3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB3kN7kN5kN＋－－1.8kNm2。4kNm1.2kNm1.25kNm＋＋－根据MC＝0、MA＝－1.8kNmMB＝0、ME＝1.25kNm、MD＋＝－1.2kNm、MD－＝2.4kNm的对应值便可作出图(c)所示的弯矩图。由图可见，梁上点D左侧相邻的横截面上弯矩最大，q＝5kN/m2kNACB8m1m（Q）+-+19.75kNx=3.95m20.25kN2kN（M）+-39kNm2kNm例8试画出图示梁的内力图。