集合与函数概念资料

1第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示一、集合、元素的概念与关系1.集合、元素的概念：（1）元素：把研究对象统称为元素，通常用小写字母a，b，c…表示；（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母A，B，C…表示.①集合是一个整体；②构成集合的元素通常有数、式、点等数学对象外，还可以是其它任何确定对象.2.元素与集合的关系：元素与集合“属于”与“不属于”的关系.（1）如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.“∈”，“”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系.二、集合中元素的特征1.确定性：构成集合的元素必须是确定的.如“个子高的同学”这组对象不能构成集合；“身高大于170cm的同学”这组对象可以构成集合.2.互异性：集合的元素必须是互不相同的.如方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1}，不能写成{1,1}3.无序性：集合中元素的排列次序无先后之分.如集合{1,2}与{2,1}是同一个集合.例1.下列每组对象是否构成一个集合：（1）数学必修1课本的难题；×（2）不超过20的非负数；√（3）方程x2-16=0的解；√（4）的近似值.×例2.在集合{3，x,x2－2x}中，写出x应满足的条件.解：x≠3，x2-2x≠3，x2-2x≠x，解得x≠3且x≠0且x≠-1三、常见的数集及其记法非负整数集（自然数集）N正整数集N*或N整数集Z实数集R有理数集Q2例3.用符号“∈”或“”填空（1）1N*；（2）0N；（3）Z；（4）Q.四、集合的表示1.自然语言法：用语言文字叙述的形式描述集合的方法.如被3除余2的正整数的集合.2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法.（1）元素减用逗号隔开；（2）元素不能重复；（3）元素较多，元素又呈现一定的规律在不发生无解的情况下，可以列出几个元素作为代表，其他元素可以用省略号表示；如不大于100的正整数构成的集合，可表示成{1,2,3，…,100}.（4）可以表示有限集合，也可以表示无限集合.如正整数集合，可表示成{1,2,3，…}3.描述法：（1）用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.（2）具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，再画一条竖线，在竖线后写出这个这个集合中元素所具有的共同特征及集合元素的取值范围.（3）描述法的一般形式是{x|p(x),x∈I}.不等式x－24的解集x6可表示成{x|x6，x∈R}（4）注意事项：①.写清楚集合中元素的代表符号及取值范围，如小于6的自然数集合可表示成{x|x6，x∈N}；②.用简明、准确的语言说明集合元素中的性质；③.不能出现未被说明的字母，如{x|x=2m,x∈Z}中m未被说明，故此集合元素是不明确的；④.所有描述的内容都要写在集合括号内，如{x|x=2m,x∈Z}，m∈N*，不符合要求，应{x|x=2m,m∈N*，x∈Z}；⑤.元素的取值范围从上下文来看，明确的可以省略不写，如{x|x=2m,m∈N*，x∈Z}可写成{x|x=2m,m∈N*}；⑥.应当准确的使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x-1或x-1}等.4.图示法5.Venn图法6.有限集、无限集3（1）当集合中的元素的个数有限时，称之为有限集；（2）当集合中的元素的个数无限时，则称之为无限集.对于有限集，集合{1，2，3，4}与集合{2，1，3，4}表示同一个集合，但对于无限集合{1，2，3，4，…}，不能写成{2，1，3，4，…}例4.用特定的方法表示下列集合：（1）A={（x，y）x+y=5，x，y∈N}；（例举法）（2）B={31，24，35，46，57}.（描述法）解：（1）A={（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）}（2）B={x|2xx,x∈N*}五、数集与点集的区分方法：要弄清集合中元素的形式，代表元素的属性.{x|y=x2+1}表示有函数y=x2+1中所有自变量的取值组成的集合，即{x|x∈R}，{（x，y）|y=x2+1}表示函数y=x2+1图象上所有点组成的集合.【例题讲解】题型一：集合的概念例5.判断下列每组对象能否构成一个集合：（1）著名的科学家；×（2）高一（1）班所有矮个子同学；×（3）高一（1）班不超过17周岁的同学；√（4）所有参加2012年伦敦奥运会的国家.√题型二：集合与元素之间的关系例6.已知a=123，A={x|x=m+3n，m，n∈Z}，则a与A之间是什么关系？解：a=2+3=2+3×1,且2,1∈Z，所以a∈A.题型三：集合的表示例7.已知集合M={x|x=3n，n∈Z}，N={x|x=3n+1，n∈Z}，P={x|x=3n-1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P.设d=a-b+c，则（B）A.d∈MB.d∈NC.d∈PD.以上都不对解：设a=3p，b=3q+1，c=3s-1，p，q，s∈Z，p-q+s-1∈Z则d=3p-(3q+1)+(3s-1)=3(p-q+s)-2=3(p-q+s-1)+1，所以d∈N例8.方程组422yxyx的解集用列举法表示为{（2，-2）}，用描述法表示为{（x，y）|422yxyx}.4例9.如图，用描述法表示图中阴影部分（含边界）点的坐标组成的集合.解：{（x，y）|-1≦x≦23，-21≦y≦1，且xy≧0}例10.用适当的方法表示下列集合：（1）由所有正偶数组成的集合；（2）由1，2，3这三个数字中的一部分数字或全部数字（不重复）所组成自然数的集合.解：（1）{x|x=2m,m∈N*}（2）{1,2,3,12,13,21,23,31,32，123,132,213,231,312,321}例11（探究型）.集合A={x|x=3n+1，n∈Z}，B={x|x=3n+2，n∈Z}，M={x|x=6n+3，n∈Z}，（1）若m∈M，问是否有a∈A，b∈B，使m=a+b成立？（2）对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a+b=m，且m∈M？证明你的结论.解：（1）当a=3k+1，B=3k+2，k∈Z，a+b=3k+1+3k+2=6k+3,k∈Z，即m=a+b成立.（2）设a=3p+1，b=3q+2，p，q∈Z，m=a+b=3p+1+3q+2=3(p+q)+3,p+q∈Z当p+q=2i，i∈Z时，m=a+b=3(p+q)+3=6i+3，i∈Z，即m∈M，当p+q=2i+1，i∈Z时，m=a+b=3(p+q)+3=6i+6，i∈Z，即mM.题型四：元素的互异性例12.由实数x，-x|x|，2x，(2x)2，-33x所组成的集合中最多含有4个元素.解析：当x0，集合含有x，-x，x2，-x24个元素.例13.已知集合A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，求a的值.解：（1）当a-2=－3时，a=-1，2a2+5a=-3(舍去)（2）当2a2+5a=-3时，a1=-1，a-2=-3(舍去)a2=-23，a-2=-72.此时A={-72，-3，12}.题型五：拓展性例14.A=ax2+2x+1=0是由方程（a∈R）的实数根组成的集合.（1）当A中有两个元素时，求a取值范围；（2）当A中没有元素时，求a取值范围；（3）当A中仅有一个元素时，求a的值，并求出此元素.解：（1）当A中有两个元素时，a≠0，=4-4a0，a1；（2）当A中没有元素时，=4-4a0，a1；（3）当A中仅有一个元素时，①a=0时，x=-21为此元素；②a≠0时，=4-4a=0，a=1，x=-1为此元素.51.1.2集合间的基本关系一、Venn图：用平面封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.优点清晰直观，缺点不能表示元素的特征.例1.用表示下列集合之间的关系：A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，D={x|x是正方形}二、子集及其性质1.子集的概念：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作AB（或BA）；读作“A包含于B”（或“B包含A”）.（1）A是B的子集的含义：若AB，则有x∈Ax∈B（2）如果A中存在着不是B中的元素，那么A不包含于B，或B不包含A，记作AB；读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.（3）A是B的子集不能理解为A是由B的部分元素组成的集合，A可能为.（4）若A=B，A中任意一个元素都是B中的元素，但此时我们也称A是B的子集.2.子集的性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即AA；（2）对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.例2.设集合A={1,3，a}，B={1，a2-a+1}，且BA，求a的值.解：∵BA，∴a2-a+1∈A，a2-a+1=3或a2-a+1=a当a2-a+1=3时，a=-1或a=2；当a2-a+1=a时，a=1（舍去）.三、集合相等：如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B又是集合A的子集（BA），即集合A和集合B有相同的元素，就说集合A与集合B相等，记作A=B.BAABBA例3.下列各组中的两个集合相等的有（）①P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n-1)，n∈Z};②P={x|x=2n-1，n∈N*}，Q={x|x=2n+1，n∈N*};③P={x|x2-x=0}，Q={x|x=1(1)2n，n∈Z}A.①②③B.①③C.②③D.①②解：①P是偶数集，Q也是偶数集，所以P=Q；②P是正奇数集，Q是大于1的正奇数集，所以P≠Q；③P={0,1}，Q={0,1}，所以P=Q.四、真子集及其性质1.真子集的概念：如果AB，但存在元素x∈B且xA，那么A是B的真子集，记作AB.AB62.真子集的性质：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.例4.写出{a，b，c，d}的所有子集，并指出其中哪些是该集合的真子集.解：子集：，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}真子集：，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}五、空集及其性质1.空集的概念：不含任何元素的集合叫做空集，记作.如P={x|x2+3=0，x∈R}=.2.空集的性质（1）空集只有一个子集，即它本身.（2）空集是任何集合的子集，即A.（3）空集是任何非空集合的真子集.例5.已知集合：（1）{0}；（2）{}；（3）{x|3mxm}；（4）{x|a+2xa}；（5）{x|-x+5=0,x∈R}.其中一定是空集的是（4）（5）.六、子集的个数：若有限非空集合A有n个元素，则集合A的子集的个数为2n.如{1,2}有四个子集分别是，{1}，{2}，{1,2}七、“∈”与“”的区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，如1∈N，-1N；“”表示集合与集合之间的关系，如NR，N.八、0，{0}，，{}1.数0是一个数，{0}是一个元素是0的集合，是不含任何元素的集合，{}指以为元素的集合.2.0∈{0}，{0}，∈{}，{}.九、在数学中，用数轴直观地表示实数的取值范围的集合，这种方法叫数轴法.【例题讲解】题型一：集合之间的关系例6.判断下列两集合之间的关系：（1）A={2,3,6}，B={x|x是12的约数}；（2）A={0,1}，B={x|x2+y2=1，y∈N}；（3）A={x|-1x2}，B={x|-2x2}；（4）A={（x，y）|xy0}，B={（x，y）|x0，y0}解：（1）A={2，3，6}，B={1，2，3，4，6，12}，所以A是B的