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集合的含义与表示说课黄霏201211131936数学科学学院【教材分析】教材所处的地位和作用：《集合的含义与表示》，内容选自于高中教材新课程人教A版必修1第一章第一节，课时安排为一个课时。作为现代数学基础的集合论，它是一个具有独特数学基础的数学分支。高中数学把集合作为一种语言来学习，也是学生今后学习函数概念的必备工具。是学生今后的学习、工作与生活中必备的数学素养，所以它在教材中处于非常重要的位置。【目标分析】新课程指出三维目标是一个密切联系的有机整体，要求我们从教学中以知识技能培养为主线，并注重情感态度与价值观的培养充分体现在教学中。新课标指出教学主体是学生，因此教学目标从学生出发，制定如下目标：（1）知识与技能目标了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；知道常用数集及其专用记号；了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；会用集合语言表示有关数学对象。（2）过程与方法通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和归纳能力。（3）情感与价值观通过实例，体会数学知识与现实世界的联系；培养学生的数学学习乐趣。【重难点分析】重点：集合的基本概念以及集合与元素之间的概念；难点：运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；【学情分析】对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。【教法与学法分析】1、针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用探究发现法的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。2、在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。【教学过程分析】一、创设情境，导入课题19世纪末，德国著名数学家康托尔(G.Cantor)创立了集合论，有人说，如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。而集合论正是一门研究集合的数学理论。因此，对大家来说，要想了解集合论，学习有关集合的知识，我们首先得了解什么是集合以及它有着怎样的特点。（从学生为何要学习集合的角度）二、引出原始集合概念，形成集合意识1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素三、回忆初中学过的集合，理解集合含义同学们回忆初中学过的集合，我们把所有的自然数放在一起，就称它为自然数的集合；把所有的有理数放在一起，就称它为有理数的集合；把不等式x-7＜3的解放在一起，就称它为该不等式解的集合；…。这是大家在初中学习中接触到的有关集合的例子。四、拓展举例，加深对集合含义的理解同学们再看下面的例子：（1）1-20以内的所有质数；（2）我国从1991-2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）所有的正方形；（4）本教室内所有的桌子；（5）方程x^2-2x=0所有的根。五、总结例子特征，对比原始概念得出现有概念举了这么多集合的例子，大家回过头来想一想，从数学发展的角度思考，数学家们为什么要提出集合的概念，我们为什么要将这些元素放在一起，为什么要构造集合：是为了研究这些元素的特点，方便在研究过程中统一描述他们，因此现代数学中集合的概念如下:一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。六、集合中元素的特性对比康托尔集合定义里，我们所说的研究对象（即元素）便是若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物。也就是说，我们对元素也有规定。（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（2）互异性：集合中的元素没有重复。（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）七、集合与元素的关系集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A八、集合的表示1、常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N∗或N+（3）整数集：全体整数的集合。记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q（5）实数集：全体实数的集合。记作R注意：*自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。*非负整数集内排除0的集。记作N∗或N+。Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z+2、一般集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如，由方程x^2-1=0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注意：*大括号不能缺失*有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}*a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。*用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次。（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。例如，不等式的解集可以表示为：或，所有直角三角形的集合可以表示为：注：*在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于100的实数}*错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。（了解）九、典型例题：1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的正奇数组成的集合（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合（3）方程x^2-3x-4=0的解组成的集合（4）20以内的质数组成的集合2、用描述法表示下列集合：（1）二次函数y=x^2+1图像上的点组成的集合（2）小于10的所有非负整数组成的集合（3）方程组x^2-2=0的解集（4）被3除余2的所有整数组成的集合十、课后练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13}②{-2，-4，-6，-8，-10}2、用列举法表示下列集合①{x∈N|x是15的约数}答案：{1，3，5，15}②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}答案：{(1，1),(1，2),(2，1),(2，2)}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}十一、课堂小结：（学生归纳，教师点评）1．集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）2．集合的表示方法（列举法、描述法、文氏图共3种）3．常用数集的定义及记法【教学反思】1、“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案首先创设集合历史情境，让大家了解集合最原始的概念，此概念清晰易懂，学生易形成初始概念；接着通过举现实生活中的具体实例让大家了解集合，进而又通过剖析现代数学中，集合出现的意义——研究数学的基本工具，从而最终形成现在教科书上的概念。2、集合的表示法是教学中的难点，为此，首先从实例出发引起学生的注意。再由特殊到一般，由师生一起讨论出如何更适当的表示出集合。着重培养学生的思维能力，学习数学概念和数学性质的方法和能力，提高学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，形成积极进取、勇于探索、不断创新的品格，提高学生的综合素质。让学生亲身经历这两个过程是教师主导作用的体现，也是实现上述设计意图的根本保证。于是，本课的教学方法主要以探索发现法为主，教师努力创造平等、民主、热烈、务实、高效的氛围，实现教学目标。【板书设计】力求简明扼要的反映知识结构及其相互联系，体现系统性，程序性，概括性，指导性，启发性，创造性。课题一、集合的定义二、元素的性质三、集合与元素的关系四、集合的表示五、例题练习课堂小结