黎曼ζ函数

黎曼ζ函数最小值马克斯再保险-15年15即时通讯-15年15黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak2003;Borwein贝利,2003年,页95-96)。在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分(1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份(2)(3)(4)所以(5)评估,让这和代入上述身份获得(6)(7)(8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数,(9)这是有时被称为p系列.黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过(10)作为一个梅林变换通过(11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。它出现在单位平方积分(12)有效期为(Guillera和Sondow2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数.黎曼ζ函数满足反射函数方程(13)(哈代1999年,p.14;“将军”1999,p.160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub1974;Havil2003,p.193)。这种函数方程的对称形式给出(14)(1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p.1999)。特别是,作为,遵循(15)在哪里是Euler-Mascheroni常数(惠塔克和沃森1990,p.271)。执行解析延拓为,写(16)(17)(18)所以重写的立即给(19)因此,(20)在这里,右边就是求和狄利克雷η函数(有时也称为交替ζ函数)。而这个公式定义对于只正确的半平面方程(◇)可以用来分析继续它的其余部分复平面.解析延拓也可以执行使用吗汉克尔函数。一个全局收敛级数的黎曼ζ函数(它提供了解析延拓的对整个复平面除了)是由(21)(Havil2003,p.206)是一个二项式系数推测的Knopp大约在1930年,证明了哈斯(1930),和重新发现Sondow(1994)。这个方程与重整化和随机变量(Bianeetal.2001),可以通过派生而来欧拉系列转换与方程(20).哈斯(1930)也证明了相关的全局收敛级数(但更慢)(22),与(21),也可以扩展到黎曼ζ函数称为泛化赫维茨ζ函数.这样定义(23)(如果奇异项的总和定义排除在外,然后。)扩大关于给了(24)在哪里是所谓的斯蒂尔斯常数.黎曼ζ函数也可以定义在复平面的围道积分(25)对所有,那里的轮廓如上图(Havil2003,pp。193年和249-252年)。0的(至少)两个不同类型。所谓的“琐碎的零”发生在所有负面的偶数,,,……,在某些“重要的零”(26)为在“关键地带。的黎曼假设断言的黎曼ζ函数零的都有实部,一行称为“关键线路。现在已经知道,“这是真正的第一的根源。上面的图显示的实部和虚部(即。、价值观的沿着关键线路),多种多样,从0到35(德比郡2004,p.2004)。黎曼ζ函数可以分成(27)在哪里和是Riemann-Siegel功能.黎曼ζ函数是相关的狄利克雷lambda函数和狄利克雷η函数通过(28)和(29)(Spanier和奥尔德姆1987)。这是相关的刘维尔函数通过(30)(1960年雷曼1960年,哈代和赖特)。此外,(31)在哪里的数量是不同的主要因素的(哈代和赖特1979,p.254)。为一个积极的偶数,,...,(32)给第一个只有(33)(34)(35)(36)(OEISA117972和A117973)。为,(37)在哪里是Glaisher-Kinkelin常数。使用方程(◇)给出了导数(38)可以直接从哪一个沃利斯公式(Sondow1994)。也可以直接从Euler-Maclaurin求和公式推导(爱德华兹2001年,页2001-2001)。一般来说,可以表达分析的吗,,Euler-Mascheroni常数,斯蒂尔斯常数,第一个例子(39)(40)衍生品也可以在封闭的形式,例如,(41)(42)(OEISA114875).的导数黎曼ζ函数被定义为(43)(44)可以在封闭的形式(45)(46)(OEISA073002),是Glaisher-Kinkelin常数(1894年得到Glaisher串联形式)。的系列关于是(47)在哪里是斯蒂尔斯常数.1739年,欧拉发现rational系数在的伯努利数。,结合1882年林德曼证明吗是先验的,有效地证明了是先验的。的研究是更困难的。摹仿(1979)最终证明是非理性的,但不知道其他类似的结果奇怪的。由于摹仿的重大发现,有时被称为摹仿的常数。Rivoal(2000)和球和Rivoal(2001)证明有无限多的整数这样是非理性的,随后,至少有一个的,,...,是非理性的(Rivoal2001)。这个结果被Zudilin随后收紧(2001),表明至少有一个,,,或是非理性的.许多有趣的金额,一个正整数,可以用二项式系数的条件二项金额(48)(49)(50)(人1994年,p.1994;贝利etal.2007年,p.70)。摹仿来到他的援助和上面的公式。一个关系的形式(51)一直在寻找一个理性的或代数数,但如果是一个根的多项式学位25或更少,那么必须大于欧几里得范数的系数,如果如果25度的代数或更少,那么系数必须超过的规范(贝利etal.2007年,页70-71,更新贝利和普劳夫)。因此,没有这样的资金而闻名.的身份(52)(53)(54)(55)为复数不等于一个非零的整数了Apery-like公式甚至积极(贝利etal.2006年,页72-77)。黎曼ζ函数可能是计算分析甚至使用轮廓整合或Parseval定理用适当的傅里叶级数。一个意想不到的和重要的公式涉及产品质数欧拉在1737年首次被发现,(56)(57)(58)(59)(60)在这里,每个后续的乘法th'只剩下的条款权力的。因此,(61)被称为是哪一个欧拉产品公式(哈迪1999,18页,“将军”1999,p.159),称为“金钥匙”,德比郡(2004年,第106-104页)。这个公式也可以写(62)在哪里和是1和3的质数全等模4,分别。为甚至,(63)在哪里是一个伯努利数(马修斯和沃克1970,pp。50-53;Havil2003,p.194)。另一个亲密的伯努利数是由(64)为可以写(65)为。(只在两种情况下,即使情况下感兴趣的非常的奇怪)。重写(65年),(66)为,3,…(Havil2003,p.194)是一个伯努利数,最初的几个值,1/120,,1/240,……(OEISA001067和A006953).尽管没有分析形式而闻名奇怪的,(67)在哪里是一个谐波数(1974年的)。此外,可以表示为金额限制(68)为5,……(很有1973,鉴于斯塔克1974)不正确。为的默比乌斯函数,(69)(Havil2003,p.2003)。的值小正整数的值是(70)(71)(72)(73)(74)(75)(76)(77)(78)(79)欧拉给来为甚至(井1986、54页)和斯蒂尔吉斯(1993)确定的值,...,到1887年的30位的准确性。分母的为,2,…6,90,945,90,945,638512875,…(OEISA002432)。分母的小数位数的数字为,1,…是1、5、133、2277、32660,426486,5264705,……(OEISA114474).积分给出了积极的偶数(80)和积分给出了积极的奇数(81)(82)(83)(84)在哪里是一个欧拉多项式和是一个伯努利多项式(Cvijović和Klinowski2002;j.Crepps珀耳斯。通讯,2002年4月)。的价值可以通过执行内部和计算方程(◇),(85)获得(86)在哪里是克罗内克符号.同样,的价值可以通过执行内部和计算方程(◇),(87)这给了(88)(89)(90)这个值与深度导致重整化理论(Elizaldeetal.1994、1995、1996年布洛赫,Lepowski1999)。显然不知道是否值(91)(OEISA059750)可以用已知的数学常数来表示。这个常数出现,例如,在Knuth的系列.快速收敛级数为首次发现了奇怪的Ramanujan(Zucker1979、1984Berndt1988年,贝利etal.1997年科恩2000)。为和,(92)在哪里又是一个伯努利数和是一个二项式系数。左边的值金额(除以)(92年)7日,11日,…7/180,7/180,1453/425675250,7/180,7708537/21438612514068750,…(OEISA057866和A057867)。为和,相应的公式有点复杂,(93)科恩(2000)。定义(94)可以写的头几个值(95)(96)(97)(98)(99)(100)(101)(102)(103)(104)(普劳夫1998)。另一组相关的公式(105)(106)(107)(108)(109)(普劳夫2006)。多项为奇数包括(110)(111)(112)(113)(Borwein和布拉德利1996,1996;贝利etal.2007,p.71),在那里是一个广义的谐波数.g.Huvent(2002)发现了美丽的公式(114)大量的涉及和身份包括(115)(116)(117)(118)包括资金涉及整数倍数的论点(119)(120)(121)在哪里是一个谐波数.两个惊人的资金涉及是由(122)(123)在哪里是Euler-Mascheroni常数(Havil2003,pp。109年和111-112年)。方程(122年可以推广到)(124)(t.Drane珀耳斯。通讯,2006年7月7日).其他意想不到的金额(125)(泰勒和Chernhoff1985;米德尔斯堡和摩���1985,p.248)(126)(125年)的一个特例(127)在哪里是一个赫维茨ζ函数(Danese1967;米德尔斯堡和摩尔1967,p.248)。考虑到金额(128)然后(129)在哪里是自然对数的,这是一个特殊的情况下(130)在哪里是双函数和是Euler-Mascheroni常数,这可以从(131)(b.Cloitre珀耳斯。通讯,2005年12月11日,cf。Borweinetal.2000年,eqn。27)。一个泛化的Ramanujan(谁给的结果)是由(132)(b.Cloitre珀耳斯。通讯,2005年9月20日)。一组额外的资金是由(133)(134)(135)(136)(137)(138)(139)(140)(141)(142)(143)(OEISA093720,A076813,A093721),是一个修改后的第一类贝塞尔函数,是一个正则化超几何函数。这些钱没有封闭表达式。黎曼ζ函数的倒数,上面绘制的,是渐近的密度th-powerfree数字(例如,squarefree数字,cubefree数字,等等)。下表给出了数字的th-powerfree数字数的值.20.607927761年608年6083年60794年607926年30.831907985年833年8319年83190年831910年40.9239381093年925年9240年92395年923939年50.9643871097年965年9645年96440年964388年6