黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

i目录1引言............................................................................................................................................12积分理论的发展.................................................................................................................13黎曼积分和勒贝格积分定义的比较.......................................................................23.1黎曼积分.............................................................................................................................23.2勒贝格积分........................................................................................................................34黎曼积分与勒贝格积分的关系.................................................................................45黎曼积分和勒贝格积分性质的比较.......................................................................55.1被积函数绝对可积性的比较............................................................................................55.2被积函数的有界性的比较................................................................................................55.3中值定理.............................................................................................................................65.4被积函数连续性的比较....................................................................................................75.5收敛条件.............................................................................................................................76黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系....................................................97勒贝格积分的某些推广....................................................................................................108结束语...........................................................................................................................................11参考文献.........................................................................................................................................12致谢.....................................................................................................................................................13ii黎曼积分和勒贝格积分的比较数学系本1001班王海荣指导老师：张炎彪摘要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系，通过两者的定义、被积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广，但是却不是黎曼反常积分的推广。关键词：黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。RiemannintegralandtheLebesgueintegralWangHairongClass1001，MathematicsDepartmentTutor:ZhangYanbiaoAbstract:Inmythesis,basedontheknowledgeoftheRiemannintegralandtheLebesgueintegral,wewanttoexploreandsummarizethedifferenceandconnectionbetweentheRiemannintegralandtheLebesgueintegral.Throughthedefinitionofbothitems,thecontinuityandboundednessoftheintegrand,theconvergencecondition,theintermediatevaluetheorem,absoluteIntegrabilityandthecomparisonofthebroadsenseofRiemannintegralandtheLebesgueintegral,ItshowsLebesgueintegralhassomeadvantagesinthetreatmentofsomedifficultproblemsonRiemannintegral,andalsopointesoutthattheLebesgueintegralisanimportantgeneralizationofRiemannintegral,anditisnotthepromotionofRiemannanomalousintegral.Keywords:Riemannintegral,Lebesgueintegral,continuity,boundedness.11引言黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分，而且还给出了定积分的相关论述，但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广，勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分，而后者是对函数定义域进行定义划分。这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究，可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。2积分理论的发展在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续性时，经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性，又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在1902年成功引进一种新的积分——勒贝格积分，同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872年，康托提出集合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，这样子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法，勒贝格在原来的基础上推广了长度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度)(Em和外测度)(Em，如果)()(EmEm时，我们称E为可测集，并称内测度和外测度的公共值I为点2集E的测度。勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数，那么E是一有界可测集，)(xf是定义在E上的实函数，如果对任一实数a，点集})(:{axfxE还是勒贝格可测集，则)(xf是E上的可测函数。容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广，它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括。能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数。利用可测函数，在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅，消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分。彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念。这两种积分既有区别又有联系，通过对这两种积分的对比研究，能让我们加深对积分理论及应用的理解。3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较3.1黎曼积分黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的,它是从划分闭区间ba,上着手,利用极限想法来进行定义的。定义1设函数)(xf在ba,上有以下定义。随意给ba,一个划分T：a=nxxx10=b，然后在所有小区间kkxx,1上任意取一点k，nk,,2,1。记区间kkxx,1的长为k=1kkxx，令)(Tlmax},,2,1:{nkk。作积分和为kknkf)(1n。假设当0)(Tl时，那么积分和n的极限是I，即IfkkkTlnTl)(limlim10)(0)(，且数I与划分T无关，也与k的取值无关，则称函数)(xf在ba,黎曼可积，I是在ba,上的黎曼积分，表示为b)()(adxxfRI。假设当0)(Tl时，积分和n极限不存在，称函数)(xf在ba,上是不可积。黎曼积分的定义知道：若函数)(xf在ba,上黎曼可积，那么)(xf在ba,上必定有界。换句话说，若函数)(xf在ba,上无界，则)(xf在ba,上必3定不是黎曼可积。3.2勒贝格积分利用与黎曼积分类似的思想，从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。定义2设函数)(xf是ba,上的有界可测函数，Mxfm)(。任意给M