集合与函数章节复习

集合与函数概念第1页共13页2018届数学第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A（2）任何集合都是它本身的子集，即AA（3）子集、真子集都有传递性，即若BA，CB，则CA4．集合的运算性质（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，BBA⑤BAABA；（2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，BBA⑤ABABA；（3）交、并、补集的关系①ACAU；UACAU②)()()(BCACBACUUU；)()()(BCACBACUUU③()()cardABcardA()()cardBcardAB有限集合A的元素个数记作A,我们有下面的容斥原理(1)ABABAB,(2)ABCABCABBCCAABC集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念集合与函数概念第2页共13页容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。例1、设集合0232xxxA，0)5()1(222axaxxB（1）若2BA，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围。变式：设集合2{60}Pxxx，{23}Qxaxa.（1）若PQP，求实数a的取值范围；（2）若PQ，求实数a的取值范围；（3）若{03}PQxx，求实数a的值.例2、设集合A,023|2xxxB.0)5()1(2|22axaxx（1）若AB,2求实数a的值；（2）若AB=A求实数a的取值范围；（3）若U=R，()uACBA.求实数a的取值范围.集合与函数概念第3页共13页巩固练习一1.数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）A．XY；B．YX；C．YX；D．YX2.若集合21|21|3,0,3xAxxBxx则A∩B是()（A）11232xxx或(B)23xx（C）122xx(D)112xx3.设集合Ax||x-a|1,xR,|15,.ABBxxxR若，则实数a的取值范围是（）(A)a|0a6(B)|2,aa或a4(C)|0,6aa或a(D)|24aa4．已知集合2),(yxyxM，4),(yxyxN，那么集合NM为（）A.1,3yx；B.)1,3(；C.1,3；D.)1,3(5.设全集{(,),}IxyxyR,集合3{(,)1}2yMxyx,{(,)1}Nxyyx,那么IICMCN等于()A,B,{(2,3)}C,(2,3)D,{(,)1}xyyx6.设全集R,(3)0,1UAxxxBxx,则右图中阴影部分表示的集合为()A．0xx；B．30xx；C．31xx；D．1xx7．01mmP,恒成立对于任意实数xmxmxRmQ0442则下列关系中立的是()A．PQ;B．QP;C．QP;D．QP8．设A、B是非空集合，定义{}ABxxABxAB且，已知A=2{|2}xyxx，B={|2,0}xyyx，则A×B等于（）A．0,；B．0,12,；C．0,12,；D．0,1(2,)9．集合{|10}Axax,2|320Bxxx,且ABB,求实数a的值.10．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人。11.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.7412.求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。UBA集合与函数概念第4页共13页第二讲函数与映射的概念一、映射与函数★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:例3、（1）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文,,,abcd对应密文2,2,23,4.abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A．7,6,1,4；B．6,4,1,7；C．4,6,1,7；D．1,6,4,7（2）若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.（3）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是()A．B中某一元素b的原象可能不只一个；B．A中某一元素a的象可能不只一个C．A中两个不同元素的象必不相同；D．B中两个不同元素的原象可能相同（4）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A．2||:,},0|{xyxfRBxxAB．2:},4{},2,0,2{xyxfBAC．21:},0|{,xyxfyyBRAD．2:},1,0{},2,0{xyxfBA考点一：判断两函数是否为同一个函数例4、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）12)(2xxxf，12)(2tttg【方法总结】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2xxf，1)(2ttf，1)1()1(2uuf都可视为同一函数.考点二求函数定义域与值域集合与函数概念第5页共13页例5、（1）若函数()yfx的定义域是]3,1[，则函数(2)()1fxgxx的定义域是（2）若函数()yfx的值域是]3,32[，则函数1()Fxfxfx的值域是【方法总结】求复合函数定义域,即已知函数()fx的定义为[,]ab，则函数[()]fgx的定义域是满足不等式()agxb的x的取值范围；一般地，若函数[()]fgx的定义域是[,]ab，指的是[,]xab，要求()fx的定义域就是[,]xab时()gx的值域。例6、已知函数122axxy在1,1上的最大值为)(af，最小值为)(ag。（1）、求)(af—)(ag的解析式；（2）、求)(af—)(ag的最大值，最小值巩固练习二1.设集合{02}Mxx，{02}Nyy，从M到N有四种对应如图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有_________．2.函数0(1)()xfxxx的定义域为_________________．3.设()fx在[0,1]上有定义，要使函数()()fxafxa有定义，则a的取值范围为（）A．1(,)2；B.11[,]22；C.1(,)2；D.11(,][,)22122xyO①y122xO②122xO③y122xO④y集合与函数概念第6页共13页4.设集合A=21,0,B=1,21,函数f(x)=,,12,21BxxAxx若x0A,且f[f(x0)]A,则x0的取值范围是()A．41,0B．21,41C．21,41D．83,05．设xR，则函数2211216fxxx的最小值为.6.如果函数cbxxxf2)(对任意实数t，都有)2()2(tftf，则：A、)2(f＜)1(f＜)4(fB、)1(f＜)2(f＜)4(fC、)2(f＜)4(f＜)1(fD、)4(f＜)2(f＜)1(f7．若函数234yxx的定义域为[0,]m,值域为25[4]4，，则m的取值范围是（）A．4,0；B．3[3]2，；C．3[]2，4；D．3[2，）8．设][x表示不超过x的最大整数（如2]2[,1]45[）,对于给定的nN*,定义(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxxx1,,求当x3,32时，函数xC8的值域【方法总结】求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。（3）利用函数的单调性求求值域（4）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。（5）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)]1(2[2yyy得021332133yy且，故所求值域是]2133,2133[（6）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0x时，0y；当0x时，xxy43，若0x，则4424xxxx若0x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是]43,43[集合与函数概念第7页共13页考点三求函数解析式例7、(1)已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf(2)设)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，并且xxxgxf2)()(，求)(xf例8、已知定义域为R的函数()fx满足22()().ffxxxfxxx（I）若(2)3f，求(1)f;又若(0)fa，求()fa;（II）设有且仅有一个实数0x，使得00()fxx，求函数()fx的解析表达式例9、已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12.（I）求()fx的解析式；（II）是否存在实数,m使得方程37()0fxx在