黑环评-数学模型-20140311.

3数学模型概述3.1数学模型的定义和分类3.2数学模型的建立3.2.1建立数学模型的过程3.2.2对模型的基本要求3.2.3数学模型的验证和误差分析3.3Excel在建立数学模型的应用3.3.1污水处理的线性回归分析3.3.2结构分析和曲线拟合3.3.3用Excel进行参数估计3数学模型概述数学模型应用于科学技术的每一个领域，是一切科学技术部门的重要工具和手段，也是环境系统分析的基础。应用环境系统工程方法解决环境污染控制问题时，一个重要的技术过程就是将所研究的环境系统行为抽象为数学模型，这是进行定量研究工作的基础。3.1数学模型的定义和分类系统的模型化是系统分析的基础，为了做好模型化工作，需要给模型一个确切的定义。如果一个事物M与另一个事物S之间，满足两个条件：1.M中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分别对应和代表S中的一个元素(分量)；2.M中的上述分量之间应存在一定的关系，这种关系可以用于与S的分量间关系进行类比。我们则将事物M称为事物S的模型。从形式上看，模型可分成抽象模型和具体模型。图3-1列出了抽象模型和具体模型的一些例子。模型图3.1模型的形式抽象模型具体模型数学模型:方程式,函数,逻辑式图象模型:流程图,方向图,框图；计算机程序:计算程序,模拟程序相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型.其它定义：1）数学模型（MathematicalModel），是根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。2）数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。3）从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。数学模型在环境影响评价中的应用环境影响评价中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测取得了大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。表3-1数学模型的分类划分依据模型类型变量与时间关系稳态模型动态模型变量间关系线性模型非线性模型变量性质确定性模型随机性模型参量性质集中参数模型分布参数模型对模型机理的把握程度白箱模型、灰箱模型以及黑箱模型数学模型具有下列特征：高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期。数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓”模型就是模型,而不是原型”,即是指该性质。3.2数学模型的建立3.2.1建立数学模型的过程一个模型要真实反映客观实际，必须经过实践-抽象-实践的多次反复。数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数据是建立模型的基础，在数据搜集时要求尽可能的充分、准确。在获得一定数据量以后，应尽早进行数据的初步分析，努力发现规律性或不确定性，以便及时调整数据搜集的策略，为数学模型的建立打下良好的基础。数据分析的主要方法有:时间序列图绘制，反映空间关系的曲线图形绘制或列表，反映变量关系的曲线图形绘制或列表；从中考察和分析系统中各元素的时空变化规律，和元素间关系变化规律。2.模型的结构选择(1)白箱模型根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。建立机理模型最主要的方法是质量平衡法,在预知污染物质反应的方式和速度时,用来预测物质流的方向和通量。虽然使用演绎法建立白箱模型并不需要经过图3.2所列的建立数学模型步骤，但事实上完全的白箱模型是很少遇到，很难获得的。即半机理模型。在应用质量平衡法建立环境数学模型的过程中,几乎每个模型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常采用经验系数来定量说明。经验系数的确定则要借助于以往的观测数据或实验结果。(2)灰箱模型(3)黑箱模型即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性，可被多种不同类型的函数描述。因此由归纳法建立起的经验模型在使用时必须注意其导出过程中的取值范围,不可任意进行扩展。例3-1在x4，由归纳法建立的两函数为：试绘制其函数图形，并分析其扩展性。解：绘制的函数图形如图所示。在x4时y的数值相当接近，因此在这个区间，它们都可能被用作某事物的经验模型，但一旦外推到x5的情况下，两函数的取值相差很远，说明它们不具有扩展性。)1(4.486.0xey2433.0733.2xxy0123450246)1(4.486.0xey2433.0733.2xxy3.估计模型的参数在灰箱、黑箱模型的建立过程中，都需要进行模型参数的估计工作。待定参数可能是一个或多个，其数量取决于模型的结构。待定参数的确定方法一般有最小二乘法、经验公式法、优化法等。但需要认识到，灰箱模型结构的合理性是其进行参数估计的先决条件。而无论采用何种方法进行参数估计，都是建立在观测数据或实验结果的基础上。4.模型的检验和修正结构形式和参数数值确定之后，数学模型就已具雏形，但还不能付诸应用。只有经过检验和验证的模型才能在一定范围内应用。输入新的(独立)观察数据,并根据输出数据和模型计算系统估计值之间的误差来检验和修正模型。若计算误差满足预定的要求，则建立模型的工作告一段落。若计算误差超过了预定的界限，则可通过修正参数的数值来调整计算结果；如果调整参数并不能使模型的精度有所改进，则要考虑模型结构的调整，并重新进行参数的估计和模型验证。经验证明合格的模型，可以在一定范围内应用。在应用过程中，要根据实际系统返回的信息对模型不断地修正和完善。3.2.2对模型的基本要求建立数学模型所需的信息通常来自两个方面:对系统的结构和性质的认识和理解---演绎法。这类模型只有唯一解。系统的输入和输出观测数据--归纳法。经验模型可有多组解。1.模型要有足够的精确度精确度是指模型的计算结果和实际测量数值的吻合程度。精确度不仅与研究对象有关，而且与它所处的时间，状态及其它条件有关。对于模型精确度的具体规定，要视模型应用的主客观条件而定。通常在人工控制条件下的各种模拟试验及由此建立的模型可以达到较高的精度，而对于自然系统和复合系统的模拟及由此建立的模型，不能期望具有较高的精度。精确度通常用误差表示。建立什么模型，都必须满足下述基本要求。2.模型要简单适用模型既要具备一定的精确度，又要力求简单实用。精确度和模型的复杂程度往往成正比，但随着模型的复杂程度的增加，模型的求解趋于困难，要求的代价亦增加。说明两个基本要求存在着一定的矛盾，需根据问题性质协调解决。有时为了简化模型以便于求解，只能降低对模型精度的要求。另一方面，无论怎样精确的模型也存在着如何从原型进行简化的问题。简化模型的方法可从两方面进行：通过抓主要矛盾，提出简化问题的一些假设，这是物理和化学意义上的简化；根据数量级关系进行取舍，这是数学意义上的简化。3.建立数学模型的依据要充分依据充分的含义指的是模型在理论推导上要严谨，并且要有可靠的实测数据来检验。4.管理模型(优化)中要有可控变量可控变量又称操纵变量，是指模型中能够控制其大小和变化方向的变量。一个模型中应有一个或多个可控变量，否则这个模型将不能付诸实用。3.2.3数学模型的验证和误差分析在经过确定结构形式和参数估值等一系列工作，建立的数学模型在投入应用之前，还要进行模型验证。验证所用的数据对于参数估值来说，应该是独立的。一个模型是否满足使用要求，以模型计算结果和实际观测数据之间的吻合程度来判断。1．图形表示法模型验证的最简单的方法是将观测数据和模型的计算值共同点绘在直角坐标图上。根据给定的误差要求，在模型计算值的上下画出一个区域，如果模型计算值和观测值很接近，则所有的观测点都应该落在计算值的误差区域内。用图形表示模型的验证结果非常直观，但由于不能用数值来表示，其结果不便于相互比较。数学模型的验证和误差分析的方法：2．Excel的分析工具库MicrosoftExcel提供了一组数据分析工具，称为“分析工具库”，该工具库包括了一系列统计和误差分析函数，相应的结果将显示在输出表格中，或同时产生图表。要使用分析工具库进行数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。一些Excel分析工具函数的定义如表3-2所示。只需要适当地使用这些函数就能够取得误差分析的信息，使模型得以验证。)()(1),(yjxjYXnYXCOV)1()(22nnXXnVARXXn1yxxyYXCOVR.),(表3-2一些Excel统计分析函数的定义定义式函数说明(2-1)AVEDEV一组数据点到其平均值的绝对偏差的平均值(2-2)CORREL两组数据集合的相关系数(2-3)COVAR每对偏差乘积的平均值(2-4)DEVSQ返回偏差平方和(2-5)STDEV估计样本的标准偏差(2-6)VAR估计样本的方差yxxyYXCOVR.),(2)(XXDEVSQ)1()(22nnXXnSTDEV3．相关系数和相对误差相关系数R，反映了两个数据集合之间的线性相关程度。在模型的验证和误差分析中模型计算值和观测值就可以看成是这样的两个数据集合。如果X(X1,X2,X3…)和Y(Y1,Y2,Y3…)分别表示一组观测值和计算值，相关系数计算:22)()()()(1.),(yjxjyjxjyxYXYXnYXCOVR（3-7）iiiiXYXe（3-8）式中ux和uy分别为观测值和计算值的平均值。R是处在-1和1之间的数。其绝对值的数值越大，表示两者的相关关系越好。相对误差的定义是4．相关性检验可以使用最小二乘法进行参数估值来获得数学模型。对于任何两个变量x和y的一组试验数据，不论y与x之间是否确实存在线性相关关系，我们都可以求出一个线性回归方程。只有当y与x大致成线性关系时，这样得到的回归方程才有意义。如果，y与x之间根本不存在线性相关关系，那末这样得到的线性回归方程就毫无意义。在建立了两个变量y与x之间的线性回归方程后，还必须判别y与x之间是否真有线性相关关系。这种判别y与x是否具有线性相关关系的方法，通常称为相关性检验。使用相关系数检验法还可以用来比较不同结构模型对实际事物描述的符合程度。按照以上相关系数计算式求得的相关系数R是处在-1和1之间的数。其绝对值的数值越大，表示y与x两者的相关关系越好。如果|R|=1，y与x两者称为完全相关关系；当相关系数R=0时，称y与x两者不相关。由于y与x可以是任何数据集合，如果它们分别代表的是数学模型的计算值和用来检验的一组观测值，相关系数R愈大，数学模型愈准确；反之，相关系数愈小，数学模型就愈不准确。注意：若总体x、y不相关，在抽样时由于随机误差，可能计算所得R≠0,。所以应检验显著性