龙格现象的matlab实现

利用MATLAB分析数值积分中的龙格（Runge）现象（1）(2012-12-1010:44:21)原文地址：利用MATLAB分析数值积分中的龙格（Runge）现象（1）作者：月之幽境实验目的：观察Lagrange插值及数值积分中的龙格（Runge）现象。了解数值不稳定现象。实验题目：（1）对于函数f(x)=1/(1+x^2),-4=x=4进行Lagrange插值。取不同结点数n，在区间[-4,4]上取等距间隔的结点为插值点，把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。（2）利用复化矩形或梯形公式计算f(x)=1/(1+x^2),-4=x=4在定义区间上的数值积分值，说明Runge现象。（先完成题目（1），题目（2）下次续上。）在同一目录下编制一下的函数：f.m,langrange.m,runge1.m。下面贴出每个文件的内容清单。f.m:functionf=f(x)f=1./(1+x.^2);endlangrange.m：functionlangrange=langrange(x,n)langrange=0;xx=linspace(-4,4,n+1);fori=1:n+1lix=1;forj=1:n+1ifj~=ilix=lix.*((x-xx(j))./(xx(i)-xx(j)));endendlangrange=f(xx(i)).*lix+langrange;endendrunge1.m：functionrunge1(n)%n为Langrange差值节点的个数x=linspace(-4,4,100);plot(x,f(x),x,langrange(x,n));end工作目录为上面的文件所在目录，在命令窗口输出一下的命令：subplot(4,4,1),runge1(1),title('1个节点')；subplot(4,4,2),runge1(2),title('2个节点')；subplot(4,4,3),runge1(3),title('3个节点')；subplot(4,4,4),runge1(4),title('4个节点')；subplot(4,4,5),runge1(5),title('5个节点')；subplot(4,4,6),runge1(6),title('6个节点')；subplot(4,4,7),runge1(7),title('7个节点')；subplot(4,4,8),runge1(8),title('8个节点')；subplot(4,4,9),runge1(9),title('9个节点')；subplot(4,4,10),runge1(10),title('10个节点')；subplot(4,4,11),runge1(11),title('11个节点')；subplot(4,4,12),runge1(12),title('12个节点')；subplot(4,4,13),runge1(13),title('13个节点')；subplot(4,4,14),runge1(14),title('14个节点')；subplot(4,4,15),runge1(15),title('15个节点')；subplot(4,4,16),runge1(16),title('16个节点')运行结果：分析结果：16幅分别为差值节点从1到16个的原函数的图像与Langrange差值多项式的图像。看图可知，当节点数较小时，逼近效果并不好，随着节点数的增多，逼近效果似乎越来越好。但是当节点数再增多时，在接近区间两边附近误差越来越大，逼近效果越来越差，这就是龙格现象。1．实验目的：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.。2．实验内容：对于函数211)(x进行拉格朗日插值，取不同的节点数n，在区间[-5,5]上取等距间隔的节点为插值点，把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。具体步骤如下：1）、编写拉格朗日插值函数（并将其存到当前路径的M文件中）functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);L=0.0;forj=1:nT=1.0;fork=1:nifk~=jT=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k));endendL=T*y0(j)+L;endy(i)=L;end2）、取不同的n值（注：当n值不同时，间距间隔10/n也在发生改变，程序中只需改变x0=-5:10/n:5中的n值）。现取n分别等于4,6,8,10时，程序分别如下（1）取n=4，x0=-5:10/4:5;y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y=lagrange(x0,y0,x);y1=1./(1+x.^2);plot(x,y1,'-k')绘制原函数图象holdonplot(x,y,'-.r')（2）取n=6，x0=-5:10/6:5;y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y=lagrange(x0,y0,x);y1=1./(1+x.^2);plot(x,y1,'-k')holdonplot(x,y,'--h')（3）取n=8，x0=-5:10/8:5;y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y=lagrange(x0,y0,x);y1=1./(1+x.^2);plot(x,y1,'-k')holdonplot(x,y,'--g')（4）取n=10，x0=-5:1:5;y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y=lagrange(x0,y0,x);y1=1./(1+x.^2);plot(x,y1,'-k')holdonplot(x,y,'--m')（5）依次输入上述程序，将f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。