数学物理方程公式小结

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()ttxxtttuaufxtxRtuxux解.().0()111(,)(,)222xattxatxatxatuxtxatxatdfddaa三维空间的自由振动的波动方程定解问题2222222220001,,,,0(,,)(,,)ttuuuaxyzttxyzuxyzuxyzt在球坐标变换sincossinsin(0,02,0)cosxryrrzr21()1()(,)44MMatrSSMMuMtdSdSatrar(r=at)221()1()(,)44MMatatSSMMuMtdSdSattat无界三维空间自由振动的泊松公式()sincos()sinsin(02,0)()cosxxatyyatzzat2()sindSatdd二维空间的自由振动的波动方程定解问题222222200,,,0(,)(,)ttuuuaxyttxyuuxyxyt2222222200001(cos,sin)1(cos,sin)(,,)22atatxryrxryruxytrdrdrdrdataatratr＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝傅立叶变换1()()2ixfxfed基本性质线性性质1212[][]FffFfFf1212[][][]FffFfFf12121[][][]2FffFfFf微分性质[][]FfiFf()[]()[]kkFfiFf[][]dFfFixfd1[()]dixfFfd00[()][()]ixFfxxeFfx00[()]()ixFefxf..1[()][()]xFfdFfxi.0.[)]1ixixxFxxedxe（（）..[]ixiFxxedxe()()ixffxedx1[()]()Ffaxfaa若[()]()Ffxg则[()]2()Fgxf12()F22242axaFee1cos()21sin()2iaiaiaiaaeeaeeicossincossiniaiaeaiaeaia2xedx＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换0()()sxfsfxedx[]ReReaxcLcepapa21[]Lxs21[]()xLexs22sinkLktsk22cossLktsk22[]2axaxeeaLshaxLsaReResa22[]2axaxeesLchaxLsaReResa基本性质1212[][]LffLfLf1111212[][]LffLfLf[()][()],0sLfxeLfx0[()](),Re()axLefxfsasa1[()](),(0)sLfcxfccc()12(1)[][](0)(0)(0)nnnnnLfsLfsfsff..01[()][()]xLfdLfxs[][()]nnndLfLxfds..()[]pfxfsdsLx（）1212[][][]LffLfFf0[()]()1sxLxxedx＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，则：VSPQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz或cos,cos,cos,VSPQRdVPnxQnyRnzdSxyz第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVVuvdSuvdVuvdV第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：SVuvvudSuvvudV第三格林公式设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0,u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuuMudSudVrnnrr定理1：泊松方程洛平问题(,,),(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuuxyzxyzn连续）连续）的解为：011111()()()()44SVuMMMdSfMdVrnrr推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xxyyzzSSSuuuuxyzVuuxyzxyzn连续）连续）的解为：0111()()()4SuMMMdSrnr＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1)在VS具有二阶连续偏导数；(2)0u称u为V上的调和函数。2、调和函数的性质。性质1设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则有0SudSn推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解）0xxyyzzSuuuuun有解的充分必要条件是：0SdS性质2设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则有:0111()4SuuMudSrnnr性质3:设u(x,y,z)是区域V上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即:021()()4RSuMuMdSR其中SR是以M0为球心,R为半径的球面＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三维空间中狄氏问题格林函数泊松方程狄氏问题为：(,,),(,,)(,,),(xxyyzzSSuuuufxyzxyzVuxyz连续）0000(,)()(,)(,)SVGMMuuMGMMudSGMMfdVnn其中：001(,)(,,)4MMGMMvxyzr如果G(M,M0)满足：0(,)0SGMM则可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解为：000(,)()()(,)()SVGMMuMMdSGMMfMdVn其中G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSGMMMMMMVGMM00MM1G(M,M)=4r推论：拉氏方程狄氏解为：00(,)()()SGMMuMMdSn平面中的三个格林公式首先证明一个定理：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：2222DLfffdxdydsxyn(1)第一格林公式DLvuvuvdxdyudsn设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向。(2)第二格林公式lDuvvudSuvvudxdy(3)第三格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：011(,)ln2MMvxyr000111111()lnlnln222MMMMLDuuMudSudrnnrr定理：平面泊松方程洛平问题(,),(,)(,),(,)LLufxyxyDuuxyxyn的解为：000111111()lnlnln(,)222MMMMLDuMdSfxydrnrr推论：平面拉氏方程洛平问题0,(,)(,),(,)LLuxyDuuxyxyn的解为：0001111()lnln22MMMMLuMdSrnr定理：平面泊松方程狄氏问题的解为：0()(,)LDGuMdSGfxydn推论：平面拉氏方程狄氏解为：0()LGuMdSn平面狄氏格林函数0000(,)(),(,)0SLGMMMMMMDGMM00MM1G(M,M)=lnr2＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝特殊区域上狄氏问题格林函数1．球形域内狄氏问题格林函数00222200(,)()(,)(,)0SGMMMMxyzRMVGMM格林函数为：00011111(,)44RGMMrrrrr其中：20100rRrrr球域内狄式问题的解0002200322200(,)()()(,)()1()(,)()42cosSVSVGMMuMMdSGMMfMdVnRrMdSGMMfMdVRRrRr其中：220322200142cosSSRrGGnrRRrRr球域上狄氏问题的解的球坐标表达式sincossinsin(0,02,0)cosxryrrzr所以：2222200330022222200001(),,sin442cos2cosSRrRrRMdSRddRRrRrRrRr2．上半空间狄氏问题的Green函数0000,,,(0)0zGxxyyzzzG01012222222000000(,)11111144()()()MMMMGMMuurrxxyyzzxxyyzz010003332220001144()MMMMzzzzzGGnzrrxxyyz所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：000..003..2222000(,)()(,),1(,,)(,)2SVVGMMuMdSGMMfdVnxyzdxdyfxyzGMMdxdydzxxyyz上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：..00003..2222000,1,,2xyzuxyzdxdyxxyyz3．上半平面狄氏问题的Green函数0101111(,)22MM