非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值平均值和平均功率非正弦周期电流电路的计算

1第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱§13-1非正弦周期信号§13-2周期函数分解为傅里叶级数§13-3有效值、平均值和平均功率§13-4非正弦周期电流电路的计算2例半波整流电路的输出信号§13-1非正弦周期信号在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。3晶体管放大电路的交直流共存信号uS(t)+ECC+-4电子示波器内的水平扫描电压锯齿波5自动控制、计算机等领域的脉冲电路中的脉冲信号和方波信号t)(titoT脉冲电流方波电压u(t)62.非正弦周期电路的分析把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，称为非正弦周期信号的各次谐波。然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独作用下电路的分响应。最后在时域叠加，得到电路的响应。谐波分析法71.傅里叶级数若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解为傅里叶级数：)]sin()cos([)]2sin()2cos([)]sin()cos([)(11121211110tkbtkatbtatbtaatfkk1110)]sin()cos([)(kkktkbtkaatff(t)=f(t+kT)k=0,1,2,…周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示：§13-2周期函数分解为傅里叶级数8式中：1110)]sin()cos([)(kkktkbtkaatfT212011201100)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTakkT1122122220)sin()cos()(kkkkkkkkktkbabtkbaabaatf9kkkkmkkkmkkkkkmabAbAabaAaAarctansincos2200，，令：110)cos()(kkkmtkAAtf1122122220)sin()cos()(kkkkkkkkktkbabtkbaabaatf1110)sin(sin)cos(cos)(kkkkmtktkAAtf10110)cos()(kkkmtkAAtf式中：A0——直流分量)cos(1kkmtkA——k次谐波分量振幅角频率初相位一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率二次以上谐波分量统称为高次谐波分量任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波分量的代数和。11tT/2TSimI周期性方波信号的分解例解TtTTtItiS2020)(m21)(102/00mTTmSIdtITdttiTa20)(cos)(2tdtktiaSk0sin12tkkIm012)5sin513sin31(sin22tttIIimmS20)(dsin)(1ttktibSk若k为偶数，bk=00)cos1(tkkIm若k为奇数，kIbmk213)5sin513sin31(sin22tttIIimmS展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。142.波形对称性偶函数：－T/2tT/2f(t))()(tftf0kb奇函数：)()(tftf－T/2tT/2f(t)0ka奇谐波函数：)2()(Ttftftf(t)022kkba15各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化的分布图称为信号的频谱。振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频率变化的图形称为相位谱。3.信号的频谱VmUko5102345210310410510锯齿波电压的幅度谱16周期性信号频谱的特点：1）离散性：离散的线状谱2）谐波性：各频率均为基波频率的整数倍，等间隔分布3）收敛性：幅度谱随频率增加而减小，表明信号能量集中在低频谐波中。VmUko5102345210310410510锯齿波电压的幅度谱1720200)(cos0)(sinttdkttdk1.三角函数的性质1）sin、cos在一个周期内的积分为0。2）sin2、cos2在一个周期内的积分为。)(cos)(sin202202ttdkttdkk为整数3）三角函数的正交性0)(sinsin0)(coscos,0)(sincos202020tdtptkttdptkttdptkpk§13-3有效值、平均值和平均功率182.非正弦周期信号的有效值)cos()(110kkkmtkIIti设则有效值:dttkIITdtiTITkkkmT2011002cos11dttkItkIIITITkkkmkkkm021111020coscos211912202kkmIII周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。利用三角函数的正交性得：222120IIIIdttjtkIItkITIITjkjkjkjmkmkkkm01,11112220coscos2cos120已知例A61i1i2i3i4iiAcos242tiA)60cos(66.53tiA)453cos(244ti求i的有效值。解4321iiiii的有效值先求32ii32II60-404A3039.6A10493.66222I213.非正弦周期信号的平均值TavdtiTI01则其平均值定义为：)cos()(110kkkmtkIIti设)d)(1(00直流分量TttiTItItimcos)(例：TmavttITI0dcos1mmII637.020dcos100TmttITImmIII707.021224.非正弦周期电路的平均功率TTuidtTpdtTP0011)cos()(110ukkkmtkUUtu)cos()(110ikkkmtkIIti利用三角函数的正交性，得：......)(cos210100PPPIUIUPikukkkkkk平均功率=直流分量的功率+各次谐波的平均功率231.计算步骤1）将非正弦周期电压或电流分解为傅里叶级数；2）求直流分量和各谐波分量单独作用下的响应；直流分量：C→开路，L→短路谐波分量：LkZCkZkLkC1)(1)(jj1，3）把各响应的瞬时表达式叠加得总响应。§13-4非正弦周期电流电路的计算24已知：R=1k，C=2F，例1SuRCou+_+_求uo及R吸收的平均功率P。解直流分量单独作用：0)0(oU基波分量单独作用：)1S(URjXC(1)o(1)U+_+_V0100)1(SU500102100016)1(CXV57.2645.89j)1(S)1()1(oUXRRUC阻容耦合电路tu1000cos40.14110SV3000cos42.42t25三次谐波单独作用：)3S(URjXC(3)o(3)U+_+_V030)3(SU67.166102300016)3(CXV46.959.29j)3(S)3()3(oUXRRUCV)46.93000cos(84.41)57.261000cos(48.126ottuW88.81059.291045.89323231PPP1）输出信号中无直流分量；2）若R1/C，则输入信号无衰减地传输到输出端26例2已知：μS28.6,Aμ157,pF1000TICmtT/2TSimIRLCuSi解)3sin31(sin22ttIIimmSmH,1,20LR求电压u（计算到3次谐波）。μA)103sin(3.3310sin1005.7866tt直流分量单独作用：R78.5AU0mV57.1105.782060U27基波分量单独作用：RjXC(1)1U1SIjXL(1)A907.709021001SIk11)1(CXCk1)1(LXLk15.150jjj)j()1()1()1()1(1CLCLXXRXXRZmV15.9122500111SIZUmV)15.9110cos(500061tumV)15.110sin(50006t28三次谐波分量单独作用：A905.239023.33S3Ik33.031)3(CXCk33)3(LXLk19.895.374jjj)j()3()3()3()3(3CLCLXXRXXRZmV19.1792235.6333SIZUmV)19.179103cos(47.1263tumV)19.89103sin(47.126tmV)19.89103sin(47.12)15.110sin(500057.166310ttuuUu29V.)4π2000cos(601000cos12030:ttu知已求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。例3V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdA3A2V2V1A130解1)直流分量单独作用L1C1C2L2U(0)+_30abcdI1(0)IC1(0)IL2(0)I0=IL20=U0/R=1A,IC10=0,Uad0=Ucb0=U0=30V312)基波分量单独作用L1、C1发生并联谐振。+_30abcd1U1I11CI21LIj40j40j40j10V01201U0,0cb1211UIILA90340j0120j1111UCωICV012011adUU323)二次谐波单独作用L2、C2发生并联谐振。+_30abcd1U2I12CI22LIj80j20j20j20V45602UA45320j4560j22122LωUIL0,02122adCUIIV45602cb2UU334)叠加i=I0+i1+i2=1AiC1=IC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=IL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t45)Auad=Uad0+uad1+uad2=30+120cos1000tVucb=Ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)V34A1I电流表A1的读数：2.12A2/3电流表A2的读数：A35.2)2/3(122电流表A3的读数：V90)2/120(3022电压表V1的读数：V0.52)2/60(3022电压表V2的读数：电路吸收的功率：W3000IUP35例4图示为全波整流器的滤波电路，L=5H,C=10F,解R=2k。设1=314rad/s，Um=157V。整流电路的输出电压uS波形如图所示。求负载两端电压的各谐波分量。SuRLou+_+_CUmuSt2查表12－1，得：)4cos(151)2cos(3121157411ttuS