非线性振动

目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析...........................................................................................11.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG）......................................................................21.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD）....................................................................31.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：.................................41.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩......................................................................41.3.2在平动坐标系中外力矩的表达..............................................................................61.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程......................................................................61.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：.71.4.1同步涡动的临界转速：..........................................................................................81.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：......................................................81.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：......................................................91.5mathematic源代码...........................................................................................................102.威尔逊--法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性..........................................................112.1分析.................................................................................................................................112.2MATLAB编程求解............................................................................................................151两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,lcm直径1.5,dcm弹性模量62622.110/20.5810/EKgcmNcm，材料密度337.810/Kgcm。固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm，直径16Dcm，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。为自转角位移，取2225.7/35.814/radsrads。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。求：①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；②应用Mathematic软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；③应用Wilson数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。21.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG）31.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD）41.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图圆盘无偏心，图中Axyz为固定坐标系，''''oxyz为过圆盘形心的平动坐标系，0'为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第5二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。当圆盘以自转角速度C绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量在旋转后的动坐标系110'中的投影用第2类欧拉角表示为111cossin（1-1）注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负1'o轴旋转，固角速度1，这与第1章所述有所不同。在平动坐标系'''oxy中圆盘对形心'o的动量矩为o'ςx'y'H=H+H+H（1-2）式中''(cossincos)'(sincos)'(sin)xpdydppJJJJJHiHjHk（1-3）由于动坐标轴''ox与1'o的夹角1,'','oyo的夹角很小，有sin,sin,coscos1代入对圆盘形心'o的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有''()xppdyppdpdJJJdtdJJJdtdJdtHHH（1-4）注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。61.3.2在平动坐标系中外力矩的表达下面分析作用在弹性轴上的力矩。作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩eM和阻力矩RM。由材料力学知，圆轴在xoz平面上弹性恢复力和弯矩223322223()13xxxxxxaabbabFlEIxkxkabababMlEIxkxkabab（1-5）注意，力矩的下标x表示在'''xoz平面内的力矩。同理圆轴在'yoz平面内弹性恢复力yF和恢复力矩11122213()yyyyyyFkykkykabMlEIykykabab（1-6）因忽略阻尼，所以没有阻力矩。由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影''''''()0xexRxxyeyRyyMMMkxkMMMkykM（1-7）注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。如果考虑扭转刚度k，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩M为kMk1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心o'的动量矩定理7''''xyyxdMdtdMdtdMdtHHH（1-8）整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程0)(00kcJckxkJJJckykJJJpxpdpyppd（1-9）再加上圆盘随形心运动的平动微分方程00kykymkxkxmyyyxxx（1-10）这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。对于圆轴截面，kkkkkkkky22112112,。第2和第3个方程可简化为：000)(001211121122212221kykymkxkxmkcJckxkJJJckykJJJppdpppd（1-11）1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：由题目给出的条件代入数据，得：1570.1425m44al，0.4275mbla23167.8103.141592623.137kg2mVA82223.137160.0050192kgm1616dmDJ220.0100384kgmpdJJ（因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有2211333549858.9N/maabbklEIab122122367161.07NabkklEIab42231.43610NmlEIkab1.4.1同步涡动的临界转速：当圆盘转动为同步正进动时。由方程错误!未找到引用源。：2211221122122111()()24()dpdpdpkkkkkkmJJmJJmJJ（1-12）代入数据，得临界角速度：21278.87(rad/s)F临界转速：1602663(r/min)2Fn当同步反进动时，由方程错误!未找到引用源。：2112212212112211221,21123433dddkkkkkkkkmJmJmJ（1-13）代入数据得临界角速度：临界转速：1260609836.7(r/min)2480.8(r/min)22BBnn，1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：由偏置单盘转子稳态自由涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为：432112211112212210dpdpmJmJJkmkJkkkkk（1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：94320.01570.031547807.175519.73385364480.460（1-15）取不同值时，经Mathematic算出对应的值，如下表所示：1F2F1B2B01721.3269.2839-1721.3-269.2842001926.589276.2289-1540.8-262.0176002408.598289.0732-1251.01-246.66110002973.112300.489-1043.04-230.56614003600.57310.5334-896.845-214.25818004273.044319.3285-794.088-198.28520004621.761323.3033-754.491-190.5731.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：101.5mathematic源代码112.威尔逊--法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性2.1分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力F，不计重力mg，没有重力矩gM，只有保持转子作等加速转动的外力矩gM。取广义坐标(,,,,)Txyq，有前面分析可知，系统微分方程简化为12111422233233414400()000ddpdppdppamxcxkxkmycykykJckJJJkykcJJJkxkc