非线性方程实验

㈠、实验目的：1、学会判断非线性方程的根的存在性、根的分布范围；2、掌握迭代法求非线性方程的根。学会比较不同方法之间的优缺点；㈡、实验题目：求非线性方程的根，精确到106，给定方程为：(i):0232exxx.㈢、实验要求：A.用你自己设计的一种线性收敛迭代法求方程（i）的根，然后再用斯蒂芬加速迭代计算。B.用牛顿法求方程（i）的根，输出迭代初值，各次迭代值及迭代次数，并与（1）的结果比较。运用不动点迭代法：当00.5,[0,1]xx时，将02*32exxx.化为x=322exx=（x）因为x[0,1]，（x）[0,1]且'（x）=32exx在[0,1]内小于1，则（x）在[0,1]上存在唯一的不动点x*，使得x*=（x*）；求f（x）的零点就等价于去（x）的不动点，将初始点x0=0.1代入（1）中：得：x1=（x0）反复迭代计算得：xk1=（xk），（k=0，1，……）斯蒂芬森加速迭代法：埃特金方法不管原序列是怎样产生的，对进行加速计算，得到序列，如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法：，，（*）称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法．可将它写成另一种不动点迭代(**)其中．(7.3.5)Newton迭代格式为：)()('1xxffxxkk=xk-（exxkk32）/(exk2)k=0，1，2,……实验过程源代码及运行结果Matlab程序：通过图像判断有无解：Clearformatlongfort=1:1000x(t)=0.01*t;y1(t)=x(t)^2-3*x(t)+2-exp(x(t));endy2=0;plot(x,y1,'r*',x,y2,'bo')运行：不动点迭代法：迭代公式：x=322exx=（x）MATLAB程序：clearformatlongk=1;x0(k)=0.5;x0(k+1)=(x0(k)^2+2-exp(x0(k)))/3;whileabs(x0(k+1)-x0(k))0.000001k=k+1;x0(k+1)=(x0(k)^2+2-exp(x0(k)))/3;endx0k斯蒂芬森(Steffensen)迭代法：MATLAB程序：clearformatlongx0=0.2;k=1;fi=inline('(x.^2+2-exp(x))/3','x');yk=fi(x0);zk=fi(yk);xk=x0-((yk-x0)^2)/(zk-2*yk+x0);ax(k)=xk;whileabs(xk-x0)0.000001x0=ax(k);yk=fi(x0);zk=fi(yk);xk=x0-((yk-x0).^2)/(zk-2*yk+x0);k=k+1;ax(k)=xk;endaxk运行后：牛顿迭代法：Matlab编程：clearformatlongx0=0.5;k=1;x=x0-(x0^2-3*x0+2-exp(x0))/(2*x0-3-exp(x0));whileabs(x-x0)0.000001x0=x;x=x0-(x0^2-3*x0+2-exp(x0))/(2*x0-3-exp(x0));k=k+1;endxk通过图像判断有无解：formatlongfort=1:1000x(t)=0.01*t;y1(t)=x(t)^3+2*x(t)^2+10*x(t)-20;endy2=0;plot(x,y1,'r*',x,y2,'bo')不动点迭代法：formatlongk=1;x0(k)=1.7;x0(k+1)=(20-x0(k)^3-2*x0(k)^2)/10;whileabs(x0(k+1)-x0(k))0.000000001k=k+1;x0(k+1)=(20-x0(k)^3-2*x0(k)^2)/10;endx0k结果：x0=1.7000000000000000.930700000000000k=1斯蒂芬森(Steffensen)迭代法：formatlongx0=0.2;k=1;fi=inline('(20-x^3-2*x^2)/10','x');yk=fi(x0);zk=fi(yk);xk=x0-((yk-x0)^2)/(zk-2*yk+x0);ax(k)=xk;whileabs(xk-x0)0.000001x0=ax(k);yk=fi(x0);zk=fi(yk);xk=x0-((yk-x0).^2)/(zk-2*yk+x0);k=k+1;ax(k)=xk;endaxk结果：ax=Columns1through31.1535004855314751.3556431098679771.368752853090470Columns4through51.3688081068407971.368808107821373k=5牛顿迭代法：formatlongx0=0.5;k=1;x=x0-(x0^3+2*x0^2+10*x0-20)/(3*x0^2+4*x0+10);whileabs(x-x0)0.000001x0=x;x=x0-(x0^3+2*x0^2+10*x0-20)/(3*x0^2+4*x0+10);k=k+1;endxk结果：x=1.368808107821373k=5