非线性狄拉克方程

非线性狄拉克方程评论王畅游数学系肯塔基大学列克星敦，肯塔基州40506，美国[e-mail]概论对于一个n维自旋流形M有一个固定的自旋结构和自旋量丛∑𝑀，我们可以证明对立方非线性下非线性Dirac方程弱解ε-正则性定理。这个定理回答了陈约斯特-王[5]提出了当n=2一个规律性的问题。介绍线性狄拉克方程，包括二维空间中的黎曼-柯西方程，是椭圆方程中最基本的一阶系统。在学习狄拉克调和映射的曲率项从一个黎曼曲面到一个黎曼流形课程时，陈-王-约斯特[4，5]介绍了立方非线性非线性狄拉克方程𝜕𝜓𝑖=∑𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙𝑁𝑗,𝑘,𝑙=1,1≤𝑖≤𝑁.(1)在二维空间中，非线性狄拉克方程的一个有趣的特点是，它是共形不变的，具有临界非线性，此时经典方法不能适用。因此，研究方程（1）弱解的正则性是一个有趣的问题。这篇文章为方程（1）的一般规律提供一个基本证明。为了描述这个规律，首先简要回顾了自旋流形的一些背景材料。有兴趣的读者可以参考劳森michelsohn[6]，陈约斯特李王[2，3]的更多细节。对于𝑛≥2，〈𝑀,𝑔〉是一个给定自旋结构和相关旋量丛∑的自旋流形。设〈.,.〉是∑上的一个哈密顿度量，∇是∑上兼容〈.,.〉与g的Levi-Civita连接.∑上的狄拉克算符定义为∂=𝑒𝛼∘∇𝑒𝛼，{𝑒𝛼}𝛼=1𝑛是M上的局部正交场，∘:𝑇𝑀⨂ℂ∑→∑是克利福德乘法。把（1）式写成如下形式𝜕𝜓=𝐻𝑗𝑘𝑙〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙(2)此时ψ=(𝜓1,⋯,𝜓𝑁)∈(Γ∑)𝑁,𝑁≥1,𝐻𝑗𝑘𝑙=(𝐻𝑗𝑘𝑙1,⋯,𝐻𝑗𝑘𝑙𝑁)∈𝐶∞(𝑀,ℝ𝑁),我们推荐读者参考书目[5]第一章，作者讨论了两个有趣的例子中（2）式结果很自然地可以得到。第一个例子是狄拉克-调和映射(𝜙,𝜓)相关的狄拉克曲率项谐波能量泛函，超弦理论中的一个非线性σ模型，其中关于𝜓的非线性狄拉克方程简化为（2）的时候𝜙是常数映射第二个例子是极小曲面X沉浸在ℝ3的全纯形式和亚纯函数的Weierstrass表达式，其中方程（2）的形式自然出现。这表明方程（2）的基本函数空间为𝐿4(𝑀)。正如参考书目[5]所指出的那样，方程（2）的任意一个弱解是光滑的并且规定对于任意的𝑝4，𝜓∈𝐿𝑃(𝑀)。在[5]中，作者证明了当n=2时方程（2）三个有趣的解析性质：（i）在𝐿4极小面积规范条件下，估计方程（2）平滑解𝜓的梯度，（ii）可剔除的孤立奇点定理，及（iii）顺序弱收敛光滑解的能量身份定理。猜想1.1：当n=2时，对于方程（2）的任意弱解𝜓∈𝐿4(𝑀)是光滑的。在这篇文章中，猜想1.1得到了肯定的回答。事实上，我们证明了任何维度下方程弱解的一般性正则定理。这个想法是基于在Morrey空间之间的Riesz电位估计法，参考亚当斯[1]。王旭已用类似方法证明了高阶狄拉克调和映射的正则性[7]。该证明是非常普遍的，可以适用于其他类似的问题说明我们的结果之前，让我们先回忆方程（2）弱解的定义。定义1.2：切面𝜓∈𝐿4((Γ∑)𝑁)是方程（2）的一个弱解，若∫〈𝜓,𝜕𝜂〉𝑀=∫𝐻𝑗𝑘𝑙〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉〈𝜓𝑙,𝜂〉𝑀对任意光滑部分𝜂∈𝐶∞((Γ∑)𝑁)均成立，M的单射半径为𝑖𝑀且𝑖𝑀0，𝐵𝑟(𝑥)为空间M中的测地线球半径0r𝑖𝑀，球心𝑥∈𝑀。定理1.3：对于任意的𝑛≥2存在仅与变量n有关的ϵ00，𝜓∈𝐿4((Γ∑)𝑁)是狄拉克方程（2）的一个弱解并且当𝑥0∈𝑀，0𝑟0≤12𝑖𝑀𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝐵𝑟(𝑥),0r≤𝑟0{1𝑟𝑛−2∫|𝜓|4𝐵𝑟(𝑥)}≤𝜖04则𝜓∈𝐶∞(𝐵𝑟02(𝑥0))。根据Holder不等式得，当𝑛≥2时，1𝑟𝑛−2∫|𝜓|4𝐵𝑟(𝑥)≤(∫|𝜓|2𝑛𝐵𝑟(𝑥))2𝑛因此。我们可以立即得到定理1.3.推论1.4：𝑛≥2时若𝜓∈𝐿2𝑛((Γ∑)𝑁)是狄拉克方程（2）的弱解，则𝜓∈𝐶∞((Γ∑)𝑁)很明显当𝑛=2时，推论1.4可得出猜想1.1。2证明定理1.3这一部分用来证明定理1.3，由于该规律是局部的，假定在简单的图像下，对于𝑥0∈M,以g为度规的测地线球𝐵𝑖𝑀(𝑥0)⊂𝑀，用(𝐵2,𝑔0)来描述。𝐵2⊂ℝ𝑛是以原点为球心，半径为2的球体，𝑔0是ℝ𝑛上的欧几里得度量。同时假设∑|𝐵2=𝐵2×ℂ𝐿，矩阵L=ℂ∑此时我们回顾下morrey空间的定义。定义2.1：1𝑝𝑛,0𝜆≤𝑛，且𝑈⊆ℝ𝑛，morrey空间𝑀𝑝,𝜆(𝑈)定义为𝑀𝑝,𝜆(𝑈)≔{𝑓∈𝐿𝑙𝑜𝑐𝑝(𝑈):‖𝑓‖𝑀𝑝,𝜆(𝑈)+∞}其中‖𝑓‖𝑀𝑝,𝜆(𝑈)𝑝=𝑠𝑢𝑝{𝑟𝜆−𝑛∫|𝑓|𝑝:𝐵𝑟⊆𝑈𝐵𝑟}很容易看出当1𝑝𝑛,𝑀𝑝,𝜆(𝑈)⊂𝐿𝑝(𝑈),𝑀𝑝,𝑛(𝑈)=𝐿𝑝(𝑈)从定标的角度来看𝑀𝑝,𝑝(𝑈)与𝐿𝑛(𝑈)相似。很显然定理1.3中的条件（4）等价于‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵𝑟0(𝑥0))≤𝜖0因此定理1.3可由以下引理得出。引理2.2:对于任意的4𝑝+∞,𝑛≥2，存在仅与p，n有关的变量𝜖00使得若𝜓∈𝑀4,2(𝐵1)是方程(2)的弱解且‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)≤𝜖0则𝜓∈𝐿𝑝(𝐵116,ℂ𝑁𝐿)，进一步来说𝜓∈𝐶∞(𝐵116,ℂ𝑁𝐿)且‖∇𝑙𝜓‖𝐶0(𝐵116)≤𝐶(𝜖0,𝑙),∀𝑙≥1证明将算符𝜕作用于方程（2），可以得到当1≤𝑖≤𝑁𝜕2𝜓𝑖=𝜕(𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙)通过Lichnerowitz公式[cf.[6]],我们可以得到−∆𝜓𝑖=𝜕2𝜓𝑖因此可得−∆𝜓𝑖=𝜕(𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙)当m=1,2，假设𝜂𝑚∈𝐶0∞(𝐵1),0≤𝜂𝑚≤1,且在𝐵21−2𝑚上的𝜂𝑚≡1。当1≤𝑖≤𝑁定义𝑓𝑚𝑖:ℝ𝑛→ℂ𝐿𝑓𝑚𝑖(𝑥)=∫𝜕𝐺(𝑥,𝑦)𝜕𝑦𝛼ℝ𝑛𝜕𝜕𝑦𝛼°(𝜂𝑚3𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙)(𝑦)dy其中𝐺(𝑥,𝑦)是在Δ在ℝ𝑛的基础解。当1≤𝑖≤𝑁定义𝑔𝑚𝑖:𝐵1→ℂ且𝜓𝑖=𝑓𝑚𝑖+𝑔𝑚𝑖（9）直接计算表明当m=1，2，1≤𝑖≤𝑁，−Δ𝑓𝑚𝑖=𝜕(𝜂𝑚3𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙)=𝜕(𝐻𝑗𝑘𝑙𝑖〈𝜓𝑗,𝜓𝑘〉𝜓𝑙)𝑖𝑛𝐵21−2𝑚（10）上式与（7）式表明∆𝑔𝑚𝑖=0𝑖𝑛𝐵21−2𝑚由（8）式可得当m=1,2，1≤𝑖≤𝑁时|𝑓𝑚𝑖|(𝑥)≤𝐶∫|𝑥−𝑦|1−𝑛(𝜂𝑚(𝑦)|𝜓(𝑦)|)3ℝ𝑛𝑑𝑦=𝐶𝐼1(𝜂𝑚3|𝜓|3)(𝑥)其中𝐼1(𝑓)(𝑥)=∫|𝑥−𝑦|1−𝑛|𝑓(𝑦)|𝑑𝑦,𝑓:ℝ𝑛→ℝℝ𝑛是一阶Riesz位势。此时回顾下Morrey空间中的亚当斯不等式（cf.[1]）:‖𝐼1(𝑓)‖𝑀𝜆𝑞𝜆−𝑞,𝜆(ℝ𝑛)≤𝐶‖𝑓‖𝑀𝑞,𝜆(ℝ𝑛),∀1≤𝑞𝜆≤𝑛.第一步(m=1).因为(𝜂1|𝜓)3∈𝑀43,2(ℝ𝑛),(13)意味着对1≤𝑖≤𝑁‖𝑓1𝑖‖𝑀4,2(ℝ𝑛)≤𝐶‖𝜂13|𝜓|3‖𝑀43,2(ℝ𝑛)=𝐶‖𝜂1|𝜓|‖𝑀4,2(ℝ𝑛)3≤C‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)3≤𝐶𝜖02‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)另一方面，通过调和函数的标准估计，我们有任何的θ∈(0,14),𝑥0∈𝐵14‖𝑔1𝑖‖𝑀4,2(𝐵𝜃(𝑥0))≤𝐶𝜃12‖𝑔1𝑖‖𝑀4,2(𝐵12),∀1≤𝑖≤𝑁.把(14)式和(15)式带入(9)式得到，对于1≤𝑖≤𝑁‖𝑔1𝑖‖𝑀4,2(𝐵𝜃(𝑥0))≤𝐶𝜃12‖𝑔1𝑖‖𝑀4,2(𝐵12)+𝐶𝜖02‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)≤𝐶𝜃12[‖𝜓𝑖‖𝑀4,2(𝐵12)+‖𝑓1𝑖‖𝑀4,2(𝐵12)]+𝐶𝜖02‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)≤𝐶(𝜃12+𝜖02)‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)这意味着对于任意的θ∈(0,14),𝑥0∈𝐵14‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵𝜃(𝑥0))≤𝐶(𝜃12+𝜖02)‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1)对于任意的α∈(0,13),首先可以选取θ∈(0,14)使得𝐶𝜃12≤𝜃∝2然后选ϵ00使得𝐶𝜖02≤𝜃∝2.然后可以得到‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵𝜃(𝑥0))≤𝜃∝2‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1),∀𝑥0∈𝐵14.由(18)式迭代可得‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵𝑟(𝑥0))≤𝐶𝑟∝2‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1),∀𝑥0∈𝐵14且0≤𝑟14.特别是，对于任意的1α13可得𝑟2(1−𝛼)−𝑛∫|𝜓|4𝐵𝑟(𝑥0)≤𝐶∫|𝜓|4𝐵1,∀𝑥0∈𝐵14且0𝑟14.因此对于任意的α∈(0,1)都有𝜓∈𝑀4,2(1−𝛼)(𝐵14)步骤二(𝑚=2).我们要重复上述论点表明𝜓∈𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵116).事实上，因为(𝜂2|𝜓)3∈𝑀43,2(1−𝛼)(ℝ𝑛)，(13)表明𝑓2𝑖∈𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(ℝ𝑛)，‖𝑓2𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵18)≤‖𝑓2𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(ℝ𝑛)≤𝐶‖𝜂13|𝜓|3‖𝑀43,2(1−𝛼)(ℝ𝑛)≤𝐶‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵14).另一方面，由于𝑔21是调和𝐵18函数，由（21）式可得‖𝑔2𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵116)≤𝐶‖𝑔2𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵18)≤𝐶[‖𝑓2𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵18)+‖𝜓𝑖‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵18)]≤𝐶‖𝜓‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵18).将（21）和（22）带入（9）得𝜓∈𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵116)，‖𝜓‖𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵116)≤𝐶‖𝜓‖𝑀4,2(1−𝛼)(𝐵14)≤𝐶‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1).因为lim𝑎↑134−4𝛼1−3𝛼=+∞,𝑀4−4𝛼1−3𝛼,2(1−𝛼)(𝐵116)⊆𝐿4−4𝛼1−3𝛼(𝐵116),这是因为对于任意的𝑝4,𝜓∈𝐿𝑝(𝐵116)且‖𝜓‖𝐿𝑝(𝐵116)≤𝐶(𝑛,𝑝)‖𝜓‖𝑀4,2(𝐵1).因为|𝜕𝜓|≤𝐶|𝜓|3,由𝑊1,𝑝估计表明对于任意的𝑝4都有𝜓∈𝑊𝑙𝑜𝑐1,𝑝(𝐵116,ℂ𝑁𝐿).因此，利用Sobolev嵌入定理得对任意的𝜇∈(0,1)𝜓∈𝐶𝜇(𝐵116,ℂ𝑁𝐿).利用Schauder估计法可得，这个区域中𝜓∈𝐶𝜇(𝐵116,ℂ𝑁𝐿)。因此由以上论证可得𝜓∈𝐶∞(𝐵116,ℂ𝑁𝐿)且猜想（5）成立