高三数学一轮复习讲义-平面向量的概念及线性运算教案-新人教A版

平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．(3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___|a|__或__AB__．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___．(5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝__±a|a|___.(6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行__．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→=a，BC→=b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b=AB→+BC→=AC→，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OA→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.(3)加法运算律a＋b＝___b＋a_____(交换律)；(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__________(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a的相反向量，记作__－a____．(2)向量的减法①定义a－b＝a＋__(－b)__，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．②图，AB→＝a，，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝__a－b____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作__λa____，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝___|λ||a|___；②当λ0时，λa与a的方向__相同____；当λ0时，λa与a的方向__相反______；当λ＝0时，λa＝____.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝__(λμ)a___.(结合律)②(λ＋μ)a＝__λa＋μa___.(第一分配律)③λ(a＋b)＝__λa＋λb____.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.5．重要结论PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)⇔G为△ABC的___重心__；PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的___重心___．3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___b=λa_.自我检测1.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2BC=16，|ABACABAC＝，|则|AM→|等于()A．8B．4C．2D．11.2．下列四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；④若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．C[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF４．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PAPB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PAPB＋PC＝0５．在平行ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→等于()A．－14a＋14bB．－12a＋12bC．a＋12bD．－34a＋34bA[由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.]６.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM成立，则m等于()A．2B．3C．4D．5B[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM→＝23AD→，①因为AD为中线，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，即2AD→＝mAM→，②联立①②可得m＝3.]７.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.解析设AB→＝a，AD→＝b，那么AE→＝12a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.⑤a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.变式训练1(1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①|a|＝|b|⇒a＝b；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③|a|＝0⇒a＝0；④若a＝b，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa＝0；⑥若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→⇔四边形ABCD是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练1解析①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；③只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.(7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.解AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b；AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.变式训练２(1)在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.解AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋λBE→＝1()2ABBAAC＝1()2ABABAC＝1(1)2ab.又AG→＝AC→＋CG→＝AC→＋mCF→＝AC→＋m2(CA→＋CB→)＝(1－m)AC→＋m2AB→＝m2a＋(1－m)b，∴1－λ＝m21－m＝λ2，解得λ＝m＝23，∴AG→＝13a＋13b.(2)如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.变式迁移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→题型三共线向量问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→、BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线.变式训练３(1)设两个非零向量e1和e2不共线．①如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；②如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．（1）证明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2＝4e1＋e2＝12（－8e1－2e2)＝12CD→．∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线．从而存在实数λ使得AC→＝λCD→即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值为43.（2）如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝13AC，在AB上取一点M，使得AM＝13AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN，在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的