八年级二次根式(教师讲义带答案)

1第五章二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、2偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)nnnaaaaaaaaaaaa，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；32.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如82627，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：223232321，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）aa与互为有理化因式；（2）abab与互为有理化因式；一般地acbacb与互为有理化因式；（3）abab与互为有理化因式；一般地cadbadb与c互为有理化因式.专题总结及应用一、知识性专题专题1二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1当x取何值时，913x的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知9191xx≥0，即的最小值为0，因为3是常数，所以913x的最小值为3.解：∵91x≥0，∴9133x≥，∴当9x+1=0，即19x时，9133x有最小值，最小值为3.【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a≥0（a≥0）.专题2二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用2||aa这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2下列计算正确的是（）42712A.822B.941362C.(2+5)(2-5)1D.322分析根据具体选项，应先进行化简，再计算.A选项中，822222，B选若可化为3323333，C选项逆用平方差公式可求得255（）（2-）=4-5=-1，而D选项应将分子、分母都乘2，得62232-12.故选A.例3计算20062007(21)(21)的结果是（）A.1B.-1C.21D.21分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为2006[(21)(21)](21)21.故选D.例4书知2228442142xxyxxxyyxx，求的值.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xxxx≥≥0≠22222872442,22277214222142277142214214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例5化简223541294-202522aaaaa-（≤≤）.22353252-302-502223)(25)|23||25|(23)(25)48.aaaaaaaaaaa解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式（【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质2(0)||-(0).aaaaaa≥，＜例6已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简222||()().aaccab解：由a，b，c在数轴上的位置可知：图21-850,00,0,||||||||()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab＜＜＞＜＜原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.22127|1|44.|1|(2)|1||2|.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)21.xxxxxxxxxxx①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,xxx③当≥时，＞≥1)(2)3.3(1)21(12)3(2).xxxxxx原式（＜，原式≤＜，≥规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.··221243.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9估计32×12+20的运算结果应在（）A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间分析本题应计算出所给算式的结果，原式1620425，由于456.25＜＜，即252.584259＜＜，所以＜＜.故选C.6例10已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求mnmn的值.解：∵9＜13＜16，∴9＜13＜16，即3＜13＜4∴13的整数部分为3，即m=3，∴13的小数部分为13-3n=133，即，∴313-361361313.133(133)13mnmn（）二、规律方法专题专题4配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用2aa=||化简.例11化简526.22252632232(3)(2)232(32)|32|32.解：规律·方法一般地，对于2ab型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则22()abxy，于是22()abxyxy，从而使2ab得到化简.例12若a，b为实数，且b=355315aa，试求22babaabab的值.分析本题中根据b=355315aa可以求出a，b，对2baab2baab的被开方数进行配方、化简.解：由二次根式的性质得3503350..5305aaaa≥，≥，150,0.babab，＞＜722()()222.babaabababababababbaabababababbaababababb当32321515.51555ab，时，原式【解题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.ababab和以及的符号专题5换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算3535.解：令x=3535，两边同时平方得：22(3535)x，∴x2=（35）（35）+235×35=1001010.xx＞，，即原式专题6代入法【专题解读】通过代入求代数式的值.例14已知22222400,5760,.ababab求的值2223322222400,57602.42400,2.42400,1000,10,2.41024,102467626.ababbaabaaabab解：由，两式相除得，专题7约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15化简23261015.82323261015223523)2312325)25525252.5235252)解：（）（（）(++（）(例16化简().2xyyxxyxxyy≠2()().()()()xyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxy解：原式三、思想方法专题专题8类比思想【专题解读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些