重庆大学工程弹塑性力学-第七章

弹塑性力学重庆大学土木工程学院第七章塑性本构关系第七章塑性本构关系7.1弹性本构关系7.2塑性全量理论7.3Drucker公设7.4加载和卸载准则7.5塑性增量理论7.6简单加载定律7.0绪论塑性本构关系：从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。两类塑性本构关系:全量理论/形变理论增量理论/流动理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的关系。描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论均与Drucker公设有密切关系直角坐标系中的的应力应变表达式1[()],yzxxyzyzEG(7.1)弹性模量7.1弹性本构关系1[()],zxyyzxzxEG1[()],xyzzxyxyEG----广义虎克定律泊松比/[2(1)]GE13[()()],21yzxxyzyzxxEGEG13[()()]1,2yzxyxzzxyyEGEG13[()]21)(,xyzzxyxyzzEGEG(7.2)7.1弹性本构关系----广义虎克定律13[(1)()],2yzxxxxyzyzEGEG13[(1)()],2yzxyyxyzzxEGEG13[(1)()],2xyzzzxyzxyEGEG(7.2)32ijijijGE(7.3)用张量表示：3个正应变相加：12iiiiE3,/[3(12)]KKE(7.4)或对于不可压缩固体，=1/27.1弹性本构关系----广义虎克定律2()2()2()xyxyyzyzzxzxGGG(7.5)(7.2)方程互减：2xyyzzxxyyzzxG(7.6)1212232331312()2()2()GGG(7.7)以主应力形式表示:应力Mohr圆和应变Mohr圆相似，应力和应变主轴重合。7.1弹性本构关系12ijijesG(7.8)用应力应变偏量表示：(7.9)(7.7)代入应力偏量分量和应变偏量分量成正比。形状改变只是由应力偏量引起的。2221223311()()()6T2221223312()()()3TG等效剪应力等效剪应变同理：3G等效正应力,式(1.41)等效正应变,式(1.54)2(1)ijijijTsee(7.10)7.1弹性本构关系加载卸载(7.11)应力应变增量间满足广义虎克定律2ijijdsGde3dKd(1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；(2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；(3)、应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4)、等效正应力与等效正应变成比例。7.1弹性本构关系弹性应变比能(7.12)单位体积内的弹性应变能1131()()2222eijijijijijijijijsese体积变形比能形状改变弹性比能22'221111(1)22224(1)eGTJGGG3/2/2e/2eijijse成正比Mises屈服条件也可称为最大弹性形变能条件7.2塑性全量理论全量理论的假定：(7.14)应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定。应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等。'E和塑性变形程度有关7.2塑性全量理论(7.15)2ijijsGeG’与材料性质和塑性变形程度有关2222yxyyzxzxzxyzxyyzzxG(7.16)应力偏量分量和应变偏量分量成正比2(),222(),222(),22xyxxxyyzyyxyzxzzxyGGGGGG(7.17)7.2塑性全量理论2/2/2/2xyyzxyyzzxzxxyyzzxxyyzzxG(7.18)(7.20)2331121223312G(7.19)由式(7.17)得:设物体的体积是不可压缩的，即=1/20,2(1)3EEG1212()[()]332xxxxyzxyzG(7.21)7.2塑性全量理论由式(7.17)，(7.20)得:111[()],2xxyzyzyzEG(7.22)111[()],2yyzxzxzxEG111[()],2zzxyxyxyEG与广义虎克定律形式上非常相似;;1/2EEGG解决具体问题比弹性力学复杂很多7.2塑性全量理论σεσεacbOβα图7.1单向拉伸曲线EE()()Etgs时:(7.25)在弹性极限内复杂应力状态下:E(7.26)()()E(7.28)E(7.27)3G在单向拉伸状态下:(7.9)形式上非常相似根据单一曲线假定:7.2塑性全量理论()()E(7.28)由右图几何条件可得:[1()]E(7.29)σεσεacbOβαE()E()acab3[1()]G(7.30)空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题7.2塑性全量理论2(),22zxzzxyGG(7.17)22,2,21112,2,2222ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzxsGesGesGesGeGGG2(),22xyxxxyGG2(),22yzyyxyGG(7.31)33333322222,2,2212121,,2232ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzxsesesese(7.32)3G7.2塑性全量理论(7.33),epepxxxxyxyxy,epepyyyyzyzyz,epepzzzzxzxzx总应变=弹性应变+塑性应变111()[()]332[1]11[()][()]3232pexxxxyzxyzxyzGGGGGG由式(7.33)(7.22)1GG7.2塑性全量理论(7.34)1[()],32ppxxyzxyxyGG1[()],32ppyyxzyzyzGG1[()],32ppzzxyzxzxGG1GG3131(),()22ppxxxyxysGG3131(),()22ppyyyzyzsGG3131(),()22ppzzzxzxsGG(7.34)31()22pijijeSG2pijijeSG或:7.2塑性全量理论理想弹塑性材料E的表达式OAss(a)理想弹塑性材料图7.2理想塑性模型E在弹性区域内(OA)E在塑性区域内(AE)SSE,不存在一一对应关系7.2塑性全量理论线性强化弹塑性材料E的表达式11111()()(1)(1)SSSSSStgtgEEEEEEEEE在塑性区域内(AE)Ossαaβbdc(b)理想弹塑性强化材料图7.2理想塑性模型1;tgEtgE11(1)SEEEE(7.36)这些物理关系对于塑性体或者是对于物理关系是非线性的弹性体在主动变形时都是适用的。7.3Drucker公设应力应变曲线形式OOOσσσ000000(a)(b)(c)图7.3应力应变曲线形式0,稳定材料0,不稳定材料应力增加应变减少,不可能现象7.3Drucker公设公设的叙述：考虑某应力循环，开始应力0ij在加载面内，然后达到ij，刚好在加载面上，再继续在加载面上加载到ij+dij，在这一阶段，将产生塑性应变dpij。最后将应力又卸回到0ij。若在整个应力循环过程中，附加应力ij-dij所做的塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。ijij0ijijdijij图7.4应力循环路径(7.37)应力循环过程中外载所做的功：0)(*ijijijd7.3Drucker公设(7.38)判断材料稳定性的条件:O0ddp图7.5一维的应力循环因弹性应变在应力循环中可逆,故:(7.39)(7.40)对于稳定材料阴影面积一定不会小于零0ijijdd0)(*ijijijd0)(*eijijijd从而,由(7.39)可以得到:0)(*pijijijd(7.41)7.3Drucker公设两个矢量的夹角是锐角,因此:O,ijij0A0Adpij图7.60ijij(7.41):;:;:;:ooppijijijijijOAOAdddd(7.43)1.加载面外凸才有可能。(7.42)0)(*pijijijd上式可理解为两个矢量的点积:0)(*pijijijd00pijdAA2.塑性应变增量矢量的方向与加载面的外法线方向一致.7.3Drucker公设塑性应变增量各分量之间的比例可由ij在加载面上的位置决定，与dij无关。,ijijAoAndp90图7.7Tpijijdd0d为一比例系数(7.44)只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。加载准则7.4加载和卸载准则()0,ijfs(7.46)理想塑性材料的加载和卸载()0,ijfs=加载面和屈服面一样加卸载准则的数学形式:弹性状态加载卸载塑性状态0)()(ijijijijijdssfsfdssfdf0)()(ijijijijijdssfsfdssfdf0)()(ijijijijijdssfsfdssfdf中性变载7.4加载和卸载准则(7.47)理想塑性材料的加载和卸载在应力空间中的形式:加载卸载ijdd加载图7.8卸载0fn由于屈服面不能扩大，d不能指向屈服面外0,0ijijdssff0,0ijijdssff7.4加载和卸载准则00,lmdfdf==或(7.48)理想塑性材料的加载和卸载光滑面交界处的加卸载准则:加载卸载加载0mf卸载加载mnLn0Lf图7.900,lmdfdf及总之，应力增量保持在屈服面上就称为加载；返到屈服面以内时就称为卸载。00llmmnfnf表示的法线方向;表示的法线方向7.4加载和卸载准则强化材料的加卸载准则：不同点：加载面允许向外扩张中性变载：相当于应力点沿加载面切向变化，加载面并未扩大的情形。卸载dd加载nd中性变载ij加载曲面图7.100,0,ijijdd