重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)

重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式重庆大学《高等数学》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数33ln()zxy在点（1，1）处的全微分dz=（).（A）dydx（B）)(2dydx（C）)(3dydx（D）)(23dydx知识点：多元函数在一点处的微分公式；难度等级：1。答：（D）分析二元函数(,)zfxy在点00(,)xy处的微分为0000(,)(,)xydzfxydxfxydy而22333333(,),(,),xyxyfxyfxyxyxy所以33(1,1),(1,1).22xyff故选（D）.2.设lim0,nnnu则1nnu().(A)收敛(B)发散(C)不一定(D)绝对收敛知识点：级数收敛判定；难度等级：2。答案:C3.设1,0;()1,0,xfxx则它的Fourier展开式中的系数na等于().(A)])1(1[2nn(B)0(C)n1(D)n4知识点：傅里叶系数；难度等级：1。答案:B4.微分方程3232xyyyxe的特解*y的形式为*y().(A)()xaxbxe(B)()xaxbe(C)()xaxbCe(D)()xaxbCxe知识点：微分方程特解形式；难度等级：2。答案:D5．直线1,21,xtytzt和直线2,21,1xtytzt的距离是().(A)2(B)233(C)23(D) 2知识点:空间解析几何；难度等级:3。答案:B.分析:该两条直线平行,其方向向量(1,2,1),s两条直线上分别取命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式点(1,1,0)A和点(2,1,1)B,(1,0,1).AB两直线的距离||,||sABds其中sAB=121(2,0,2).101ijk因此823.36d6.若是空间区域的外表面,下述计算中运用高斯公式正确的是().(A)2(2)(22)xdydzzydxdyxdxdydz外侧(B)3222()2(321)xyzdydzxydzdxzdxdyxxdxdydz外侧(C)2(2)(21)xdydzzydxdyxdxdydz内侧(D)2(2)(22)xdydzzydxdyxdxdydz内侧知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.二、填空题(每小题3分,共18分)7.微分方程xyxydxdytan的通解为__________.知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:sin.yCxx8.平面012zyx与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为__________.知识点:空间解析几何；难度等级:2。.答案:2222(12)3().xyzxyz分析:设动点的坐标为(,,).xyz根据题意得到22222212.111xyzxyy两边平方化简得到2222(12)3().xyzxyz9．设220(,),xxIdxfxydy交换积分次序后,__________.I知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.答案:2420/22/2(,)(,).yyydyfxydxdyfxydx10.设2sin(23)23,xyzxyz则__________.zzxy知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:1.11.设L为取正向的圆周224,xy则曲线积分(1)(2)__________.xxLyyedxyexdy知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:8.12.设L是从点1,2A沿曲线22xy到点4,22B的弧段,则第一类曲线积分LyIdsx的值为__________.重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式知识点:曲线对弧长的积分计算；难度等级:1.答案:1(93).2I分析:以x为参数,2222111(93).22LyIdsxxdxx三、计算题(每小题6分,共24分)13.计算222(cos2sin)(sin2),xxLxyxxyxyedxxxyedy其中L为正向星形线222333(0).xyaa知识点:格林公式；难度等级1。分析:积分路径已为闭,格林公式.解:2cos2sin2xPQxxxxyeyx222(cos2sin)(sin2)xxLxyxxyxyedxxxyedy()0.DQPdxdyxy14.求微分方程2sinyyx的通解.知识点:二阶常系数线性微分方程；难度等级:3.分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.解:对应的齐次方程的特征方程为:210.故可得特征根为1,21.原方程右端的函数2121cos2()sin()(),2xfxxfxfx其中121cos2(),().22xfxfx方程11()2yyfx的一个特解为*11;2y方程2cos2()2xyyfx的一个特解为*2cos2.10xy利用叠加原理,得原方程的特解2***11cos2.210xyyy故方程的通解为121cos2.210xxxyCeCe15.计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面2211(01)4zxyz的上侧.知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.解:取22141:,0xyz下侧,则与1围成的立体为.1123Ixzdydzzydzdxxydxdy(20)GaussTHzzdxdydz2210413xyzzdzdxdy(先二后一)重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式106(1).zzdz1223Ixzdydzzydzdxxydxdy13xydxdy(分片投影)22413xyxydxdy(对称性)0.11122323.IxzdydzzydzdxxydxdyxzdydzzydzdxxydxdyII16.计算223,ydxxdyzdz其中为圆周2229,0.xyzz若从z轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.知识点:斯托克斯公式,曲面积分的计算,二重积分的性质；难度等级:1.分析:可用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,也可化为平面曲线积分,用格林公式计算,后者更简单.解:取为平面0z被所围成的部分:229xy的上侧,于是2223(32),,23dydzdzdxdxdyydxxdyzdzdxdyxyzyxz2299.xydxdy四、解答题(每小题6分,共12分)17．设平面区域3{(,)|1,11},Dxyxyx)(xf是定义在)1(],[aaa上的任意连续函数.试求:2[(1)()(1)()].DIyxfxxfxdxdy知识点:二重积分计算；难度等级:2。分析:被积函数含有未知连续函数,积分区域添辅助曲线化为与两坐标轴分别对应区域,利用被积函数的相应奇偶性可做解:作曲线如图.令LyyxyD,1),0(:31围成,1D按y轴对称;LxyxyD,1),0(:32围成,2D按x轴对称.令)]()1()()1[(2),(xfxxfxyyxf显然(,)2[(1)()(1)()](,),fxyyxfxxfxfxy所以2(,)0.Dfxyd又因为(,)2[(1)()(1)()](,),fxyyxfxxfxfxy所以1(,)0.Dfxyd122[(1)()(1)()](,)(,)0.DDDIyxfxxfxdxdyfxydfxyd重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式18．设0sin,1,2,,nnaxxdxn求12nnna的值.知识点:无穷级数的和,定积分；难度等级:3。解:STEP1.0sinnnaxxdx0()sinxntnnttdt00sinsinnnxxdxnxdx2200sinsin.22nnnnaxdxxdxnSTEP2.011nnxx1212121311(1)(1)1(1)nnnnnnnxxxnxxxnxx231(1),1(1)nnxxnxxx2116.22nnnnnan五、证明题(每小题6分,共12分)19．试证关于xy,的二元方程exyxy32在正方形域(,)|11,11Dxyxy上至少有一组解.知识点:有界闭区域上连续函数的性质之零点存在定理.难度等级:2。分析:由零点存在定理,只要说明函数3(,)2xyfxyexy在两个点处的值异号就可以了.证明:令3(,),(,).2xyfxyexyxyD显然(,)fxy在正方形域D上连续,且3113(1,0)10,(1,0)10.222feefe由连续函数的介值定理知(,)fxy在D上至少有一个零点,即方程32xyexy在D上至少有一组解.20.设曲面:1,xyz证明:4()3.3xydS知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。L3xy重庆大学《高等数学》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式分析:据题目的特点,注意对称性的使用证明:关于yoz面对称,x为连续的奇函数,故0.xdS由轮换性对称性知.xdSydSzdS于是11().33ydSxyzdSdS在八个卦限中都是以边长为2的等边三角形,其面积为13.2故114()0833.323xydS六、应用题(每小题8分,共16分)21.求均匀摆线(sin),(1cos)(0)xattyatt的弧的质心.知识点:对弧长的曲线积分,质心；难度等级2。分析:弧的参数方程已知,直接用质心公式计算解:弧长的微分为2222(1cos)sin2sin.2tdsatatdtadt质量为0002sin4.2tMadta于是质心坐标为0000014(sin)2sinsinsinsin.222223tatataxattadttdttdtM00000134(1cos)2sinsin(sinsin).2224223tatattayatadtdtdtM22.求过点(2,3,8)的平面,使此平面在三个坐标轴上的截距都是正数,且平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小,并求最小四面体的体积.知识点:拉格朗日乘数法；难度等级:3.分析:过点(2,3,8)的平面的截距