重庆大学高数(工学下)期末试题三(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.设向量a与三轴正向夹角依次为,,,则当cos1时有().(A)axoy面(B)a//xoz面(C)ayoz面(D)axoz面知识点:向量与坐标面的位置关系,难度等级:1.答案:(D)分析:cos1,0,a与y轴正向夹角等于零,axoz面.2.方程22()0ydxxyxdy的积分因子为().(A)21()xx(B)21()yy(C)221(,)xyxy(D)1(,)xyxy知识点:微分方程,积分因子,难度等级:1.答案:(C)分析:当微分方程(,)(,)0MxydxNxydy不是全微分方程时,若存在二元函数(,),xy使得(,)[(,)(,)]0xyMxydxNxydy是全微分方程,则称(,)xy为方程的积分因子.因此代入(A),(B),(D)所给函数均不满足条件,因此应选(C).3.设积分区域D由||1,x||1y确定,则Dxyxydxdyxesincos().(A)0(B)e(C)2(D)2e知识点:二重积分对称性的使用,难度等级:1.答案:(A)分析:积分区域关于y轴对称,被积函数为关于y的奇函数,积分值为0,选A.4．微分方程27(1)yyx用待定系数法确定的特解(不求系数值)形式是().(A)2()yxAxB(B)27()xyxAxBxCe(C)27()xyAxBxCe(D)2()yxAxBxC命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式知识点:微分方程特解形式,难度等级:1.答案:(D)分析:原方程所对应的齐次方程为07,yy其特征方程为27(70,)其特征根为120,7.而220(1)(1),xxxe故方程的特解为2().yxAxBxC故应选(D).5.下列各曲线中,绕y轴旋转而成的椭球面2223231xyz的曲线是().(A)222310xyy(B)223210yzx(C)223210xyz(D)223310xzy知识点:旋转曲面对应的曲线方程,难度等级:2.答案:(C)分析:222310xyy可以写成2210xy绕y轴旋转而成的旋转面为22221xz;223210yzx绕y轴旋转而成的旋转面为2222321xyz;223210xyz绕y轴旋转而成的旋转面为2223231xyz;223310xzy绕y轴旋转而成的不是旋转面,而是它本身22331.0xzy.6.设为0z(222Ryx)的上侧,则22()xydxdy().(A)42222RdxdyRRyx(B)42222RdxdyRRyx(C)242003RdrrdR(D)0知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:1.答案:(C)分析:被积函数自变量在园面内取,故A,B错误,C与D之一成立,上侧取正化为二重积分为C,计算结果不为0,不选D.二、填空题(每小题3分,共18分)7.已知级数31ln(1)tnnn收敛,则参数t的取值范围__________.知识点:含参级数收敛,参数范围,难度等级:2.答案:1.t分析:3ln(1)3ln~,ttnnnn在1t时23lntnnn收敛.故1.t8.两个平行平面0218419zyx和0428419zyx间的距离为__________.知识点:两平面间的距离,难度等级:3.答案:1.分析:两个平行平面间的距离等于第一个平面内任一点000(,,)xyz到第二个平面的距离,即000000222194842194842,2119(4)8xyzxyzd重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式其中0001948210.xyz即000194821.xyz于是00019484221421.2121xyzd9.2220yxdxedy=__________.知识点:二重积分交换积分次序计算,难度等级:2.答案:41(1).2e分析:直接计算不行,交换积分顺序,可得所求.10.设L是从点0,,eeA沿曲线cos,sin,tttxetyetze到点1,0,1B的弧段,则第二类曲线积分LIxdxydyzdz的值为__________.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案:21.Ie分析:2221(),2xdxydyzdzdxyz1,0,12222,0,1()1.2eeIxyze11.三元函数222xyz在约束条件21xyz下的极小值等于__________.知识点:三元函数的条件极值,难度等级:3.答案:6.6分析:令222(,,).fxyzxyz由拉格朗日乘数法,在约束条件21xyz下的极小值点满足方程组222222222020.0xxyzyxyzzxyz解此方程组得111,,.663xyz所以极小值等于2221116()()().663612.为柱面222ayx被平面1z和4z所截得的在第一卦限内的部分,则ydzdxxdydzzdxdy=__________.知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3.答案:23.2a分析:曲面可视为22(14)yaxz或22(14),xayz222223.2yzzxDDzdxdyxdydzydzdxaydydzaxdzdxa三、计算题(每小题6分,共24分)13.计算曲线积分,LxdsL为由直线xy及抛物线2xy所围成的区域的整个边界.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式分析:直接化为定积分计算.解:整个边界可分为两部分,分别为:21:(01);Lyxx2:(01).Lyxx故11200142Lxdsxxdxxdx321201212[(14)](551).122122x14.解方程22ln.xyyxyx知识点:微分方程,变量代换,难度等级:2分析:注意(,)xyyxy从而作代换,uxy解:令,uxy则,uyxy代入方程可得2lnduuxdx这是变量分离方程,即2ln.duxdxu解得1ln.xxxCu故原方程的解为1().(ln())yxxxCxx15.将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数,并求级数112)1(nnn的和.知识点:函数的幂级数展开,常数项级数求和,难度等级:2分析:求导再展开,幂级数逐项积分.解:2214()(12)12112fxxxx2214x202(4)nnx12120(1)2,nnnnx11,.22x()()fxfxdx12120((1)2)nnnnxdx121210(1)2.21nnnnxCn由4)0(f知.4C()fx4121210(1)2,21nnnnxn11[,].22x令21x得:112)1(nnn1.416.计算333(coscoscos),xyzdS其中为曲面222xyz夹在平面0z及(0)zhh之间的部分,cos,cos,cos为此曲面的外法线的方向余弦.知识点:对面积的曲面积分,高斯公式,球坐标,难度等级:3重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式分析:添加辅助面构成闭曲面,用高斯公式,据被积函数特点,用球面坐标计算三重积分.解:添加辅助面1:zh,取上侧,则与1构成闭区域,用高斯公式,用球面坐标计算三重积分:1333(coscoscos)xyzdS2223()xyzdV244cos00053sin9.10hddrdrh而1333(coscoscos)xyzdS1333()xdydzydzdxzdxdy1335.xyDzdxdyhdxdyh于是33355591(coscoscos).1010xyzdShhh四、解答题(每小题6分,共12分)17．判别级数11211nnnn的收敛性.知识点:交错级数敛散性,难度等级:1解:因为nnnnuunn11)1(1||||221nnnnnn2212323,1即||||1nnuu),2,1(n且1lim||lim2nnunnn.0由交错级数审敛法,原级数收敛.另一方面,1||2nnun22nnn,21n而121nn发散.故1211||nnnnnu发散.于是级数1211)1(nnnn是条件收敛的.18．在曲面22260xyz上求一点,使该点处的切平面垂直于直线215,213xyz并求该切平面.知识点:曲面,直线,切平面.难度等级:2分析:形式上写出切点处的切平面的法向量,利用切平面与已知直线垂直且切点在切平面上得切点,进而写切平面方程.解:曲面在点000(,,)xyz处的法向量000(,,)nxyz平行于向量(2,1,3),所以000.213xyz令000,213xyzt得到0002,,3.xtytzt代入22260xyz得,1.t所求的点为(2,1,3)和(2,1,3),切平面为2(2)(1)3(3)0,xyz即2360;xyz和重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式2(2)(1)3(3)0,xyz即2360.xyz五、证明题(每小题6分,共12分)19．函数zzxy(,)由方程Fxzyyzx(,)0所确定,其中F有连续的一阶偏导数,求证:.zzxyzxy知识点:隐函数的偏导数,难度等级:1分析:由方程(,)zzFxyyx(,,)0Gxyz确定的隐函数zzxy(,)的偏导数,xzGzxG,yzGzyG求出,,xyzGGG后可得,,zzxy代入zzxyxy即可得到结论.证明:12212221();1yFzFyFzFzxxxFFx11221;1FFzxyFFx1212.yFzFyFzzxyzxyF20.设在上半平面(,)0Dxyy内,函数(,)fxy具有连续偏导数,且对任意的0t都有2(,)(,).ftxtytfxy证明:对D内的任意分段光滑的有向