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第三部分专题探究专题二几何计算考点一：线段的计算【例1】如图3-2-1，已知线段AB=80，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB=14.（1）求MB的长；（2）求PB的长；（3）求PM的长．解：（1）因为M是AB的中点，AB=80，所以MB=12AB=12×80=40.（2）因为N为PB的中点，且NB=14，所以PB=2NB=2×14=28.（3）因为MB=40，PB=28，所以PM=MB-PB=40-28=12.考点突破【例2】如图3-2-3，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M,N分别为AC,BC的中点．（1）求线段BC,MN的长；（2）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=bcm，M,N分别是线段AC,BC的中点，求MN的长度．解：（1）因为AC=6cm，M是AC的中点，所以AM=MC=AC=3(cm).因为MB=10cm，所以BC=MB-MC=10-3=7(cm)，因为N为BC的中点，所以CN=BC=×7=3.5(cm).所以MN=MC+CN=3+3.5=6.5(cm).（2）如答图3-2-1.因为M是AC中点，N是BC中点，所以MC=AC，NC=BC.因为AC-BC=bcm，所以MN=MC-NC=AC-BC=（AC-BC）=b（cm）．212121212121212121考点二：角的计算【例3】如图3-2-5，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC∶∠EOD=2∶3，求∠BOD的度数．解：（1）因为OA平分∠EOC，所以∠AOC=∠EOC=×70°=35°.所以∠BOD=∠AOC=35°.（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x.根据题意,得2x+3x=180°.解得x=36°，所以∠EOC=2x=72°.所以∠AOC=∠EOC=×72°=36°.所以∠BOD=∠AOC=36°．21212121【例4】如图3-2-7，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD=70°，OF垂直AB．（1）写出图中任意一对互余的角和一对互补的角：互余的角是__________________,互补的角是_______________________________；（2）求∠EOF的度数．解：（2）因为∠AOC=∠BOD=70°，OE平分∠AOC，所以∠AOE=∠AOC=35°，所以∠EOF=90°-∠AOE=90°-35°=55°．∠AOE和∠EOF∠AOC和∠BOC(答案不唯一)21变式诊断1.如图3-2-2，已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点．（1）若线段DE=11cm，求线段AB的长．（2）若线段CE=4cm，求线段DB的长．解：（1）因为点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，所以AC=2CD，BC=2CE，所以AB=AC+BC=2（DC+CE）=2DE=2×11=22(cm).（2）因为点E是线段BC的中点，所以BC=2CE=8(cm)．因为点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，所以DC=AC=BC=4(cm)，所以DB=DC+CB=4+8=12(cm)．21212.如图3-2-4，AD=DB，E是BC的中点，BE=AC=4cm.（1）求AB的长;（2）求DE的长．解：（1）因为BE=AC=4cm，所以AC=16(cm).又因为E是BC的中点，所以BC=2BE=2×4=8(cm).所以AB=AC-BC=16-8=8(cm)，即AB的长为8cm.（2）因为AD=DB，所以设AD=xcm，则BD=2xcm.因为AD+BD=AB，所以x+2x=8，解得x=.所以BD=（cm）.所以DE=DB+BE=+4=(cm)．即DE的长为cm．21414121383163163283283.如图3-2-6，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE，且OC平分∠AOD，∠BOE=3∠DOE，∠COE=70°．求：（1）∠BOE的度数；（2）∠AOC的度数．解：设∠BOE=x，则∠DOE=x.所以∠BOD=∠BOE+∠EOD=x，∠AOD=180°-∠BOD=180°-x．因为OC平分∠AOD，所以∠AOC=∠COD=∠AOD=（180°-x）=90°-x．因为∠COE=∠COD+∠DOE=90°-x+x=70°，解得x=60°，所以∠BOE=60°.（2）因为∠AOC=90°-x，所以∠AOC=50°．313434212134323231324．已知：如图3-2-8，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）图中与∠AOM互余的角是_________________；（2）若∠AOC=40°，求∠MON的大小；（3）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？∠BOM或∠COM解：（2）因为∠AOB是直角，∠AOC=40°，所以∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°.因为OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，所以∠MOC=∠BOC=65°，∠NOC=∠AOC=20°．所以∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-20°=45°.（3）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．理由如下:因为∠MON=∠MOC-∠NOC=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB.又因为∠AOB是直角，所以∠MON=∠AOB=45°．21212121212121基础训练5.如图3-2-9，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．解：因为AC=15cm，CB=AC，所以CB=×15=9(cm).所以AB=AC+CB=15+9=24(cm)．因为D，E分别为AC，AB的中点，所以AE=BE=AB=12(cm)，DC=AD=AC=7.5(cm).所以DE=AE-AD=12-7.5=4.5(cm)．53535321216.如图3-2-10，直线AB与CD相交于点O，射线OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的角平分线．（1）请写出∠EOF的所有余角：__________________；（2）请写出∠DOE的所有补角：__________________；（3）若∠AOC=16∠FOB，求∠COE的度数.解：（3）设∠AOC=x，则∠FOB=6x.因为∠BOD=∠AOC=x，∠BOF-∠BOD=∠FOD=90°，所以6x-x=90°，解得x=18°.所以∠BOF=6x=108°.所以∠AOF=180°-108°=72°．所以∠COE=2∠AOF+∠AOC=2×72°+18°=162°.∠EOD,∠BOD,∠AOC∠COE,∠COB,∠AOD拓展提升7.将线段AB延长至C，使BC=AB，延长BC至点D，使CD=BC，延长CD至点E，使DE=CD，若CE=8cm．（1）求AB的长度；（2）如果点M是线段AB中点，点N是线段AE中点，求MN的长度．313131解：（1）设DE=x，由BC=AB，CD=BC，DE=CD，得CD=3x，BC=9x，AB=27x．由线段的和差，得CE=BC+DE=4x=8，解得x=2，AB=27x=54(cm).（2）由线段的和差，得AE=AB+BC+CD+DE=27x+9x+3x+x=40x=80(cm).由点M是线段AB中点，点N是线段AE中点，得AM=AB=×54=27(cm)，AN=AE=×80=40(cm).由线段的和差，得MN=AN-AM=40-27=13(cm).313131212121218．如图3-2-11,把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．（1）如图3-2-11①，当OB平分∠COD时，∠AOD与∠BOC的和是多少度？（2）如图3-2-11②，当OB不平分∠COD时，∠AOD和∠BOC的和是多少度？（3）当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，∠BOC是多少度？解：（1）当OB平分∠COD时，有∠BOC=∠BOD=45°，于是∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-45°=45°.所以∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°.（2）当OB不平分∠COD时，有∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°.于是∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC，所以∠AOD+∠BOC=90°+90°=180°.（3）由题意,得∠AOD+∠BOC=180°，有∠AOD=180°-∠BOC，180°-∠BOC=4（90°-∠BOC）.解得∠BOC=60°．