重庆大学高数(工学下)期末试题九(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量4,3,4a与向量2,2,1b则ab().(A)6(B)6(C)1(D)3知识点:向量的内积；难度等级:1。答案:(A).2.设arctan,4zxy则zx().(A))4(1xyxy(B)2)4(11xyx(C)22)4(1)4(secxyxyxy(D)2)4(1xyy知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。答案:(D).3.两个半径为R的直交圆柱体所围立体的表面积是().(A)2222004RRxRdxdyRx(B)2222008RRxRdxdyRx(C)22222204RRxRxRdxdyRx(D)22220016RRxRdxdyRx知识点:二重积分的应用；难度等级:2。答案:(D)分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.xyRxzR由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222xzR部分面积的16倍,而该面积为222200,RRxRdxdyRx选D.4．设222ln,uxyz(1,0,1)()().rotgradu(A)14(B)0(C)(0,0,0)(D)(1,0,1)知识点:旋度定义；难度等级:1。答案:(C)分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0,选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式5.微分方程231xyye的一个特解为().(A)313xye(B)213xye(C)313xye(D)213xye知识点:二阶常系数非齐次线性微分方程；难度等级:2。答案:D分析:原方程的特解为方程31yy与方程23xyye的特解之和,而方程31yy的特解为11,3y方程23xyye的特解为22.xye因此原方程的特解为2121.3xyyye故应选(D).6.设()fu具有连续导数,是曲面22zxy与228zxy所围成立体表面之外侧,则zdxdydzdxyxfxdydzyxfy)(1)(1=()(A)16(B)16(C)8(D)因()fu未知,故无法确定.知识点:对坐标曲面积分的计算,高斯公式；难度等级:2。答案:(A)分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积:480416,yyDDVdydxdzdydxdz选A.二、填空题(每小题3分,共18分)7.微分方程2yx的通解为___________.知识点:可分离变量微分方程；难度等级:1。答案:2.yxC8.级数221(1)nnxxn的收敛区间是___________.知识点:函数项级数的敛散性；难度等级:2。答案:10.x分析:因为幂级数1n2nny的收敛域为11,y故原级数的收敛域为112xx1,解此不等式组得10.x9.已知曲线弧:L21(01),yxx则2___________.Lxyds知识点:曲线对弧长的积分；难度等级:1。答案:1.3分析:122220111.13Lxydsxxdxx10.设曲线xtytzt2131223,,在t1对应点处的法平面为,S则点(,,)241到S的距离___________.d知识点:曲线的切线与法平面、点到平面的距离；难度等级:2。答案:2.分析:先求S的方程.法平面的法向量即切线的方向向量:重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式2(2,6(1),3(1))(2,6,3).n切点为(1,2,1).所以法平面方程为2(1)6(2)3(1)0.xyz即263110.xyz故点(,,)241到S的距离0002222222(2)6431112.2(6)3AxByCzDdABC11．设L为圆周224xy沿逆时针方向一周,则22Lyxdyxydx___________.知识点:曲线对坐标的积分,格林公式；难度等级:2。答案:8.分析:利用格林公式,积分化为2222200()8.Dxyddrrdr12.设是球面2222xyzR在第二卦限部分,则2__________.xdS知识点:曲面对坐标的积分,对称性；难度等级:2。答案:4.6R分析:222xdSydSzdS22213xyzdS224114.386RRR三、计算题(每小题6分,共24分)13.将函数)1ln()(32xxxxf展开成x的幂级数.知识点:幂级数间接展开；难度等级:2。解:22()ln[(1)(1)]ln(1)ln(1),fxxxxx11(1)ln(1),(1,1],nnnuuun11211(1)(1)(),(1,1].nnnnnnfxxxxnn11(1)(1),(1,1].nnnnxxxn14.设是由曲线202xyz绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围成的空间区域,求22()d.xyzV知识点:三重积分计算,旋转曲面方程；难度等级:2。分析:旋转体横截面为圆,整个落在一圆柱体内,可用柱坐标计算解:由曲线202xyz绕z轴旋转一周所成的曲面为222.xyz2224xyzz22:8.Dxy22()dxyzV22842002dd()dzz重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式2428320021dd2zz256.315.计算22()xydS,其中是锥面2223zxy被平面0z和3z截得的部分.知识点：对面积曲面积分;难度等级1.分析投影到xoy坐标面用极坐标进行计算解在xoy的投影为22:3xyDxy,2212xyzz232222200()()229xyDxydSxydxdydrrdr.16.计算333(2),xxdydzydzdxzdxdy其中为球面2222xyza的外侧.知识点：高斯公式，三重积分;难度等级：2.分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解:333(2)xxdydzydzdxzdxdy2223()xyzdxdydz+2dxdydz22230005343sin23128.53addrrdraaa四、解答题(每小题6分,共12分)17．求级数11212)2()1(nnnnx的收敛域.知识点：幂级数的收敛域;难度等级2.解:令2.xt考虑级数211(1).21nnntn2322123lim,21nnntnttn当12t即1t时,亦即31x时所给级数绝对收敛;当1t即3x或1x时,原级数发散;当1t即1x时,级数11121)1(nnn收敛;当1t即3x时,级数1121)1(nnn收敛.级数的半径为1,R收敛域为[1,3].重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式18．求函数)4(),(2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域D上的最大值和最小值.知识点：多元函数极值;难度等级：2.解:由0)24(0)1()4(22yxxfxyyxxyfyx得D内的驻点为),1,2(0M且(2,1)4.f又(0,)0,(,0)0,fyfx而当0,0,6yxyx时,32(,)212(06).fxyxxx令32(212)0,xx得120,4.xx于是相应2,621yy且.64)2,4(,0)6,0(ff所以(,)fxy在D上的最大值为(2,1)4,f最小值为.64)2,4(f五、证明题(每小题6分,共12分)19．求函数1()xdedxx的关于x的幂级数的展开式,并由此证明11.(1)!nnn知识点:幂级数的展开和求和；难度等级:2。分析:本题首先应用间接展开法把函数展开成x的幂级数,然后再把x取定特殊的值便可得到所求的和.证明:因为011,!!nnxnnxxenn所以111.!xnnexxn从而1()xdedxx11!nndxdxn1122)!1(!)1(kknnkkxnxn(x).又因为1()xdedxx21,xxxeex所以)!1(11nnxnn21xexexx(x).令1,x得11.(1)!nnn20.设()fx为恒大于零的连续函数,222()22()()(),()tDtfxyzdvFtfxyd22()2()(),()DtttfxydGtfxdx其中2222(){(,,)|},txyzxyzt222(){(,)|}.Dtxyxyt证明(1)()Ft在区间(0.)内单调递增.(2)当0t时,2()().FtGt重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式知识点:重积分计算,,变限函数求导,导数性质；难度等级:3。分析分别将函数表示为关于t的变限函数,利用导数判断单调性证明:分别在球坐标及极坐标下计算三重及二重积分.(1)222220000222000()sin2()()()ttttddfrrdrfrrdrFtdfrrdrfrrdr（）=220220()()()'.()ttfttfrrtrdrFtfrrdr（）=2在（0,+）上,Ft（）0.()Ft在区间(0.)内单调递增.(2)因22()2()(),()DtttfxydGtfxdx只需证0t时,2()()0.FtGt即22222000()()()0.tttfrrdrfrdrfrrdr令()gt为左边函数,则2220()()()(-)0.tgtftfrtrdr因为()gt在0t处连续,所以当0t时()(0)0.gtg从而当0t时2()().FtGt六、应用题(每小题8分,共16分)21.求向量场222222,,Ayzzxxy沿闭曲线的环流量,其中是球面xzyx4222与柱面xyx422的交线,从Oz轴正方向看进去为逆时针)0(z.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,极坐标；难度等级3。分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解:222222()()()Lyzdxzxdyxydz2