重庆大学高数(工学下)期末试题五(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20—20学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：考试时间:120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1.如果,ab为共线的单位向量,则它们的数量积().ab(A)1(B)0(C)2(D)cos(,)ab知识点:向量的数量积,难度等级:1.答案:D分析:||||ababcos(,)ab=cos(,).ab2.微分方程21xy的通解是().(A)1yCx(B)1yCx(C)1Cyx(D)1yxC知识点:微分方程,难度等级:1.答案:D分析:将方程改写为21,dydxx并积分,得通解1,yCx故应选(D).3.设空间区域2222,xyzR：则222().xyzdV(A)4R(B)443R;(C)4 3  2  R(D)42 R知识点:三重积分计算,难度等级:2.答案:A4．若L是上半椭圆cossinxatybt取顺时针方向,则Lydxxdy的值为().(A)0(B)2ab(C)ab(D)ab知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案:C分析:题中半椭圆面积为,2ab要用格林公式,添有向线段1:0(:).Lyxaa112,0.DLLLdxdyab故选C.5.设函数(),0fxx连续,并对0x的任意闭曲线,L有命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式34()0,Lxydxxfxdy且(1)2,f则()fx().(A)242412423xxx(B)324122424xxx(C)31x(D)xx13知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).xyxfxyx即34()().xfxxfxA,B选项显然不满足方程,而C含常数,也不能满足方程,故选D.验证D满足,或用一阶线性微分方程求出为D.6.曲面22zxy包含在柱面222xyx内部那部分面积().(A)(B)2(C)22(D)3知识点:曲面面积,难度等级:2.答案:B分析:在xOy投影区域22:2,Dxyx化为二重积分为2Ddxdy=2,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.级数12(2)!nnnn的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2.答案:e分析:11121.(2)!!(1)!nnnnnnennn8.222()__________,cxyzds其中c为螺线cos,sin,(02).xatyattabt的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.答案：222222(34).3abab解:弧长的微分为22,dsabdt于是2222222222222202()()(34).3cxyzdsababtdtabab9.过已知点A)1,2,1(和B)7,2,5(作一平面,使该平面与x轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y分析:平面的法向量nAB,且ni,取606(0,6,0),100ijknABi过重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式点A(1,2,1),平面方程为0(1)6(2)0(0)0,xyz即20.y10.函数zyux在点(1,2,1)处沿(1,2,2)a方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1答案：1.6解:(1,2,2)a122cos,cos,cos.3331(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln0;zzzyyzuyxxuxxzyy(1,2,1)(1,2,1)lnln0.zyzuxxyyz111.236ua11.设为平面32236xyz在第一卦限的部分的上侧,将QdzdxPdydzRdxdy化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2.答案:3223().555PQRdS分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为3,2,23,长度为5故得结果.12.设是圆锥面22zxy被圆柱面axyx222所截的下部分,则()xyyzzxdS__________.知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3.答案:4642.15a分析:曲面关于x轴对称,xyyz为关于y的奇函数,故只需算zx的积分值,2cos22342206422cos2.15xyaDzxdSxyxdxdydrdra三、计算题(每小题6分,共24分)13.计算积分(2),caydxxdy其中c为摆线(sin),(1cos)(02)xattyatt的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分.解:由题设(1cos),sin.dxatdtdyatdt于是20(2)[(2(1cos)](1cos)(sin)sincaydxxdyaatatattatdt重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式2202202sincossin2.attdtattta14.求32sin(2coscos)0xdxxdx的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2分析:sincosdd,若令cosz,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为2sincos2cos.xddxdxxdxx令cos,yx则2sincos.xddxdyx于是方程化为2.dyxyxdx这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2xxxyexedxCCe故21cos.2xxCxe15.计算,2222zyxdxdyzxdydz其中是由曲面222Ryx及平面,(0)zRzRR所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()zdxdyzxydVxyzxyz又dydzzRyRdydzzRyRzyxxdydz212222222222222222222212yzDRRRRRyRzdzRydyRz2212[arctan]2.2RRzRRRR22222.2xdydzzdxdyRxyz16.计算第二类曲线积分222,Lydxzdyxdz其中L为球面2222Rzyx与柱面对)0,0(22RzRxyx的交线,其方向是面对着正x轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222Ldydzdzdxdxdyydxzdyxdzxyzyzx重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式dxdyyyxRxyxydxdyxdzdxzdydzxyD)(222222xyDxdxdy(∵xyD关于x轴对称,222(,)xyfxyyRxy是关于y的奇函数)22cos02cos2Rdrrd342034cos3.4RdR四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nnen的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2分析:取211nn用比较判别法的极限形式.解:1200211111limlimlim.122nxxnxxeexenxxn由于211nn收敛,故级数111(1)nnen收敛.18．求函数2232zxyx在闭域22(,)|194xyDxy上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060xyzxzy得D内驻点(1,0),且(1,0)1.z在边界22194xy上21121233.3zxxx1220.3zx11(3)15(3)3.zz比较后可知函数z在点(1,0)取最小值(1,0)1z在点(3,0)取最大值(3,0)15.z五、证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)Fxyz具有一阶连续偏导数,且对任意实数t有(,,)(,,)(kFtxtytztFxyzk是自然数),试证曲面(,,)0Fxyz上任一点的切重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学2015版试卷标准格式平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.xyzFFF).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2分析:曲面(,,)0Fxyz在一点000(,,)xyz的切平面方程为000()()()0,xyzFxxFyyFzz求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明:由已知条件可得.xyzxFyFzFkF曲面上点000(,,)xyz处的切平面方程为000()()()0.xyzFxxFyyFzz即000000(,,)0.xyzxyzxFyFzFxFyFzFkFxyz易知0,0,0xyz满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点.20.设0,nPnP单调增,且11nnP收敛.证明:(1)12nnnuPPP单调减.(2)21nnu收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)1121121nnnnnnuuPPPPPP1212112121(1)()()()()nnnnnPPPnPPPPPPPPP121121210()()nnnnPPPnPPPPPPP12nnnuPPP单调减.(2)2122222,nnnnnnuPPPnPP而11nnP收敛,由比较判别法,21nnu收敛.六、应用题(每小题8分,共16分)21.设在xoy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片占有平面闭域222,,0{()|},DxyxyRy过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点,P.OPa求半圆形薄片对质点P的引力知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3分析:由引力公式,建立二重积分计算解:设P点的坐标为(0,0,.)a薄片的面密度为222.12MMRR000,,重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共