重庆大学高等流体作业流体考试作业

五、设-52/1.110m/s的气体以=22m/sV的速度，以零攻角定常绕流长度为L=1m的大平板，试用数值解讨论边界层内的流动规律。解：气体以零攻角定常绕流大平板流动的雷诺数：65221.0Re210/1.110VL＞210沿板面取x坐标，板的法线方向取y坐标，建立流向坐标系Oxy，如图1所示。边界层控制微分方程组及相应定解条件为：图1气体外掠大平板边界层1.对二维定常流动，忽略质量力，流体动力学基本方程具体化为：C.F.：0uvxy（1）M.F.：22221()uupuuuvxyxxy（2）22221()vvpvvuvxyyxy（3）定解条件（对于y=x处）：0,0,0yuv,eyuUU2.采用数量级比较法分析各变量:(0,)xL，(0,)y，(0,U)eu，(0,v)ev，2e(~)pU。取特征参数L，eU将方程组各变量无量纲化：*(0,1)xxL，*(0,1)yyyAL，其中AL，远小于1；*(0,1)euuU，*(0,1)eevvvvBU，其中eevBU,远小于1；*2(~1)eppU。代入方程组（1-3）：C.F:***[]0eUuBvLxAy（4）11BA→因0ux取A=BM.F:22**2*2*******22*2*//1()[]eeeeUUuBuuupuvLxAyLULxULAyx（5）11BA11Re2111ReA1分析x方向的动量方程：左端两项与压力梯度项有相同的数量级，两个粘性扩散项中，第一项有很低的数量级，可以去掉。由于边界层中粘性的作用不容忽视，第二项应予保留，则有21ReA22**2*2*******22*2*//11()[]eeeeBUBUvBvvvpuvLxAyLULxULAyABy（6）11BA11Re2111ReA1AB分析y方向的动量方程：对流项和粘性扩散项有相同的数量级，而压力梯度项确有高的很多的数量级（去掉明显较低级的数量级的项），原控制方程组可简化为（称为边界层方程）：C.F:0uvxy（7）M.F:xpyuyuvxuu122（8）0yp（9）可以认为，在任一过流断面上，边界层内各个点的压强p与外边界上的势流压力ep相等(x,y)p(x)p(x)ep，而边界层外势流区满足：2ee12pUC（10）既有：eee111dpdUdppUxxxdx（11）对于平板绕流()eUC常数：所以e0dUdx，这样控制方程组最终简化为：C.E：0uvxy（12）M.E:22yuyuvxuu（13）B.C:e0:0,0:yuvyuU3.采用无量纲相似性引入流函数(,)xy，将未知函数的数量由两个变为一个。令,uvyx，作相似性变换，引入无量纲相似性变量:ee111=.y..y.yAxxxUU；(令eUA)(14)eeee1111....fBxxxUUUU；(令eUB)(15)其中：1efBxuABfUfyy2eeeufUfUUfxxxx；1eeeUfufUUfAyyyx；22211eeuUfAUAfyxyx1110.50.5(f)fBfxvVfxBfxxxxx代入方程(13)，有：eee0.512UBUffVffUfAxxx(16)方程（16）化简为：即：0.50fff。（17）边界条件：x=x，00,(0)0yf；x=x，00,(0)0yf；,1yf；因此，原定解问题可表示如下：0.5000,00,1ffffff（18）这是一个三阶非常系数齐次常微分方程，具有初边值型的定解条件，将初边值问题转化为初值边界条件，则可用四阶龙格库塔法进行数值求解。4将常微分方程的初边值问题变换为初值问题（1）齐次方程的变量代换取：113300;;fAAfAF，则有：代入原方程（18）有：4143330AFAFAFAFFF由于A为非零常数，则有：0FFF。初始条件：13232332(0)(0)0(0)0'(0)'(0)0'(0)0''(0)''(0)''(0)1'()'()1['()]fAFFfAFFfAFAFfAFAF即转化的初值问题为：000,00,01FFFFFF这样原问题转化为：000,00,01ffffff初始程序：%分别用x，y，z表示（f=xf'=yf''=z）%方程f'''+0.5ff’=0可以分别记为：%f'=x'=y;%f''=y'=z;%f'''=y''=z'=-0.5xz;x=0;y=0;z=1;h=0.1;n=100;t=0;szj=[t,x,y,z];fori=1:n-1%i=1:n定义龙格库塔程序k1=y;l1=z;m1=-0.5*x*z;k2=y+l1*h/2;l2=z+m1*h/2;m2=-(x+k1*h/2)*(z+m1*h/2);k3=y+l2*h/2;l3=z+m2*h/2;m3=-(x+k2*h/2)*(z+m2*h/2);k4=y+l3*h;l4=z+m3*h;m4=-(x+k3*h)*(z+m3*h);x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;z=z+h*(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;t=t+h;szj=[szj;t,x,y,z];end%x方向速度u=Uf’u=22*szj(:,3);plot(szj(:,1),u,'db-')%f'holdon%%y方向速度u=Uf’v=22*szj(:,3);plot(szj(:,1),u,'db-')%f'holdonplot(szj(:,1),szj(:,2),'dg-')%fholdonplot(szj(:,1),szj(:,3),'db-')%f'holdonplot(szj(:,1),szj(:,4),'dr-')%f''六、谈一个自己所关心的流动问题，并给出自己对该问题的看法。