量子体系本征值问题的解法

1量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。SolutionmethodsoftheeigenvaluesforQuantumSystemKeywords:Eigenvalue;Analyticalmethod;Matrixmethod;Algebraicmethod;LinearharmonicoscillatorAbstract:Solvingeigenvaluesandeigenfunctionsforthequantumsystemsismainlycontentsinthequantumtheory.Therearealotofprocessingmethodssuchasanalyticalmethod,matrixmethodandfactorizationmethod,andsoon.Inthispaper,severalkindsofdifferentmethodsonsolvingeigenvaluesforthequantumsystemsaregivenandcompared,andfurthersummarized.Furthermore,onthebasisofalgebraicsolution,theexpandingresolutionswereobtainedforone-dimensionallinearharmonicoscillator,thetwo-dimensionallinearharmonicoscillator,three-dimensionallinearharmonicoscillator,andevenn-dimensionallinearharmonicoscillator.Moreover,theeigenvaluesandeigenstatesoftheangularmomentumwereshownbyalgebraicsolution..引言2∞00xa/2-a/2U(x)∞如图所示我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1.量子体系本征值问题的分析解法运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.假设现在有一维无限深势阱为：.22,,22,0axaxaxaxU或者（1-1）我们知道一维无限深势阱的特点是在22axa时，它的势能是零；在22axax或时，其势能为无限大（如图所示）.定态薛定谔方程为：xExxUxmdxd222-2在阱内22axa时，xExxmdxd02-222（1-2）在阱外22axax或者时，xExxmUdxd02222-（1-3）在（1-3）式U0.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在0时，式才成立.于是有0，22axax或者（1-4）3显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件.为了运算方便，我们通常引入符号2122mEk（1-5）则有0222kxdd，22axa.方程的解为kxBkxAsincos，22axa.（1-6）由边界条件（即0，22axax或者）知：02a于是，时，2ax02sin2cos2akBakAa时，2ax02sin2cos2akBakAa由此解得.02sin;02coskaBkaA（1-7）0,0BA;此时不管x为何值恒为零，因此应将这组解舍去.02sin,0,0kaBA即（1-8）由此解得222mka，,2,1,0m（1-9）02cos,0,0kaBA即（1-10）由此解得2222mka，,2,1,0m（1-11）对第种情况的解，显然m为偶数；对于第种情况的解，显然m为奇数.0m对应的解恒为零.而m等于负整数时方程的解和m等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合、得22nka，,3,2,1n（1-12）则ank（1-13）4由（1-5）式和（1-13）式可得22222mEan根据上式可以解得体系的能量为anEmn222221（1-14）上式对应于量子数n的所有取值，有无穷多个nE与之对应。把（1.8）式代入（1.6）式，可以得到波函数为.22,0,22,sinaxaxaxaxanBxnn或者为偶数时，（1-15）.22,0,22,cosaxaxaxaxanAxnn或者为奇数时，（1-16）.0,0无解时，BA所以波函数为2sinaxanAxn,3,2,1n（1-17）由归一化条件12sin22222dxaxanAdxxaan（1-18）可以解得122aA于是aA2.22,0;22,2sin2axaxaxaaxanaxn或者（1-19）52.量子体系本征值问题矩阵解法我们知道态在不同的表象中，可以用不同的波函数表述，而算符在表象中是用矩阵表述的，并且我们知道算符在其自身表象中是一个对角矩阵，下面将通过矩阵的形式来处理量子体系的本征值问题.我们先来讨论这样一个问题，在任意一个力学量Q的表象中，怎样描述tx,所描写的状态呢？我们可以先假设Q具有分立的本征值,,,,2,1nQQQ它对应的本证函数是,,,,21xuxuxun.将其按Q的本证函数展开，则有xutatxnnn,.（2-1）由归一化条件，dxxtxtannu,.（2-2）假设tx,也满足归一化条件，于是dxxuxutatadxtxmnmmnn2,tatatatannnmnmmnn于是1tatannn.（2-3）据此，我们知道在tx,所描写的态中测量力学量Q的结果是nQ的概率2na.那么tx,在Q中可以表示为,,,,21tatatan.（2-4）用矩阵表示为：tatatan21（2-5）其共轭矩阵为：,,,,21tatatan.（2-6）我们知道算符在表象中用矩阵表示，所以力学量F在Q表象中的矩阵表示为6nmnnmmFFFFFFFFFF212222111211（2-7）其中，dxxuFxuFnmmnˆ.将tx,按照Q表象的本征函数xun展开mmmnxttxxutatxuann;,,,（2-8）代入期望值公式有,,,ˆ,dxxxxixFtxF（2-9）,,ˆdxtutaxixFxtFnnuammnm.,ˆtdxtxixFtauuannmmnn（2-10）那么dxxxixFxuuFnmmn,，（2-11）所以有ttFaFanmnmnm.（2-12）;,,,,2121222211121121tttFaaaFFFFFFFFFaaanmnmmnnm（2-13）即FF.（2-14）本征值方程为txtxxixF,,,ˆ（2-15）令，则有F.（2-16）把上式用矩阵表示为：7ttttttaaaaaaFFFFFFFFFnnnnnnnn2121212222111211.（2-17）移向并化简得：021212222111211tttaaaFFFFFFFFFnnnnnnn.（2-18）显然，上式是一个线性齐次的代数方程组：.,2,1,0mtaFnnmnmn（2-19）根据相关条件，系数行列式等于零这个方程组才有非零解，即0detmnmnF，则久期方程为.0212222111211FFFFFFFFFnnnnnn（2-20）解这个久期方程，可以得到F的本征值，它是一组值，即,,,,21n，我们如果把所求得的值代入（1-38）式，可以求出与之相对应的本征矢,,,,21tttaaainiini,,2,1其中，.由此可知，我们就把解微分方程求解本征值的问题变换为了求解（2-21）式的根的问题.3.运用代数解法处理量子体系的本征值问题前面我们讲到了用分析解法和矩阵解法处理量子体系的本征值问题，我们也比较习惯用这两中解法来求解；但应用最早且在物理学的前沿领域应用最为广泛的却不是这两种解法而是用代数的解法来求本征值问题。下面，将分别从一维、二维、三维线性谐振子的角度运用代数的解法来求其本征值和本征函数，这对于今后的学习很有帮助。3.1用升降算符求解一维线性谐振子的本征值求一维线性谐振子的本征值问题主要是对rSchrodinge因式分解法和nHamiltonia经典表达式与算符表达式的关系，得出谐振子的升降算符，进而求出一维线性谐振子的本8征值以及本征函数.首先写出一维线性谐振子的nHamiltonia量为：xpH2222121（3-1）我们知道自然单位是,1我还知道能量单位和长度单位分别为、，下面进行rSchrodinge因式分解处理xpH22221211212122因为xpipx2221ipxixpipxipx212121（3-2）由对易式可以知道，都是厄米算符和pxipx,（3-3）