量子力学数学基础简介

1目录第1章量子力学简史................................................................................................2第2章量子力学重要内容简介.................................................................................32.1基本假设................................................................................................................32.2对易力学量完全集................................................................................................42.3态矢量、算符........................................................................................................42.3.1态矢量..............................................................................................................42.3.2算符..................................................................................................................5第3章泛函分析简介.................................................................................................53.1集合与空间............................................................................................................53.1.1集合..................................................................................................................53.1.2拓扑空间..........................................................................................................63.1.3度量空间..........................................................................................................63.1.4赋范线性空间..................................................................................................63.1.5内积空间..........................................................................................................73.1.6希尔伯特空间..................................................................................................73.1.7希尔伯特空间的重要性质..............................................................................73.1.8综述..................................................................................................................83.2线性算子................................................................................................................93.2.1线性算子..........................................................................................................93.2.2线性运算与乘法............................................................................................103.2.3伴算子............................................................................................................103.2.4自伴算子........................................................................................................11第4章量子力学中泛函分析的应用.......................................................................124.1量子态的矩阵表示..............................................................................................124.2算符......................................................................................................................134.3本征方程..............................................................................................................134.4平均值..................................................................................................................14第5章后序...............................................................................................................14参考文献.....................................................................................................................16第一章量子力学简史1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。1905年，爱因斯坦引进光量子(光子)的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。其后，他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。1913年，玻尔在卢瑟福原有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，在轨道上运动时候电子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于1923年提出了物质波这一概念。认为一切微观粒子均伴随着一个波，这就是所谓的德布罗意波。由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。这个方程是薛定谔在1926年首先找到的，被称为薛定谔方程。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。这就是1927年，海森伯得出的测不准关系，同时玻尔提出了并协原理，对量子力学给出了进一步的阐释。量子力学和狭义相对论的结合产生了相对论量子力学。经狄拉克、海森伯（又称海森堡，下同）和泡利（pauli）等人的工作发展了量子电动力学。20世纪30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论——量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。3第2章量子力学重要内容简介2.1基本假设量子力学的基本假设是整个量子力学体系的基础，有如下四个。这四个假设可推导出整个量子力学（非相对论）。（1）一个物理系统于时间点t的状态可以由希尔伯特空间中的一个归一化矢量来定义。这里的希尔伯特空间指的是定义了内积的平方可积的线性矢量空间。（2）每个可观测量A可以通过状态空间中的一个线性厄米算符ˆA来表示，可观测量A在状态的期望值（即测量结果的平均值）为*ˆAd。进一步的，对应于可观测量的厄米算符的所有本征态构成希尔伯特空间中的正交归一的完备函数系。任意一个态矢量都可以由该算符的本征态展开。如果系统处于算符的本征态上，对应的可观测量具有唯一确定的测量值，即该本征态对应的本征值。对于任意的态，观测量的测量值是各本征值的带权平均。量子力学中的测量是不可逆的，测量后系统处于该测量值的一个特征矢量上。（3）位置算符和动量算符之间满足正则对易关系qppqih由此对易关系可以确定动量算符的表达式，而所有的其他算符都可以由位置算符和动量算符表出。（4）状态矢量的动力学演化由薛定谔方程表示：222iHVtmhh在这里哈密顿算符H通常对应于系统的总能量E。量子力学数学基础简介42.2对易力学量完全集设有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符12ˆˆˆ,,AAAL，它们的共同本征态记为，表示一组完备的量子数。设给定一组量子数之后，就能够确定体系的唯一一个可能状态，则我们称12ˆˆ,,AAL构成体系的一组对易可观测量完全集（completesetofcommutingobserbables，简称CSCO），习惯称为对易力学量完全集，或简称力学量完全