量子力学讲义第三章讲义

1第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。ˆAuv表示Â把函数u变成v，Â就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()AcccAcA其中c1,c2是任意复常数，1,2是任意两个波函数。例如：动量算符ˆpi，单位算符I是线性算符。2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆAB，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆAB。3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()ABABC，则ˆˆˆABC称为算符之和。ˆˆˆˆABBA，ˆˆˆˆˆˆ()()ABCABC4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB，定义为ˆˆˆˆ()()ABABˆC是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA。5、对易关系若ˆˆˆˆABBA，则称Â与ˆB不对易。若ABBAˆˆˆˆ，则称Â与ˆB对易。若算符满足ˆˆˆˆABBA，则称ˆA和ˆB反对易。例如：算符x,ˆxpix不对易2证明：(1)ˆ()xxpxixixx(2)ˆ()xpxixxiixx显然二者结果不相等，所以：ˆˆxxxppxˆˆ()xxxppxi因为是体系的任意波函数，所以ˆˆxxxppxi对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆyyyppyi，ˆˆzzzppzi但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。ˆˆ0ˆˆ0yyzzxppxxppx，ˆˆ0ˆˆ0xxzzyppyyppy，ˆˆ0ˆˆ0xxyyzppzzppzˆˆˆˆ0xyyxpppp，ˆˆˆˆ0yzzypppp，ˆˆˆˆ0zxxzppppˆˆˆˆ0xyyx，ˆˆˆˆ0yzzypppp，ˆˆˆˆ0zxxzpppp写成通式(概括起来)：ˆˆxppxi(1)ˆˆˆˆ0xxxxˆˆˆˆ0pppp其中,,,xyz或1,2,3量子力学中最基本的对易关系。注意：当Â与ˆB对易，ˆB与Ĉ对易，不能推知Â与Ĉ对易与否。6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：ˆˆˆˆˆˆ[,]ABABBA这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：ˆ[,]xpi不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1)ˆˆˆˆ[,][,]ABBA2)ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABAC3)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCBACABC，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCACB，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[BAkBkA4)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0ABCBCACAB——称为Jacobi恒等式。3角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符ˆˆˆˆˆxxyyzzlrpirleleleˆl在直角坐标中的三个分量可表示为ˆˆˆ()xzylypzpiyzzyˆˆˆ()yxzlzpxpizxxzˆˆˆ()zyxlxpypixyyxˆˆˆ[,]xyzllil，ˆˆˆ[,]yzxllil，ˆˆˆ[,]zxyllil（要求会证明）ˆˆˆllilˆˆˆllil是角动量算符的定义式。ˆˆˆ[,]llil式中称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：1231其中,,,xyz或1,2,3证明：ˆ[,]xlix或ˆ[,]lxix,,,xyzˆˆˆ[,]plip或ˆˆˆ[,]lpip2ˆˆ[,]0ll(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系ˆ(sincos)xlictgˆ(cossin)ylictgˆzli22211ˆ[(sin)]sinsinl2ˆˆˆˆ,,xyzllll和只与,有关，与r无关，而且ˆzl只与有关。42222222zyx2222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr或222222ˆˆrplr22222ˆˆrplr其中),1(ˆrripr)(1ˆ2222rrrrpr，rpˆ可称为径向动量算符。(3)角动量升降阶算符(I)定义ˆˆˆxyllil，ˆˆˆxyllil显然有如下性质ˆlˆl，ˆˆll这两个算符不是厄密算符。(II)对易关系ˆˆ[,]zllˆl，2ˆˆ[,]0ll，22ˆˆˆˆˆzzlllll，22ˆˆˆˆˆzzlllll7、逆算符(1).定义:设Â=,能够唯一的解出，则可定义算符Â之逆Â-1为:1ˆA(2).性质I:若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAAAI,1ˆˆ[,]0AA(3).性质II:若Â,ˆB均存在逆算符,则111ˆˆˆˆ()ABBA8、算符函数设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛()0(0)()!nnnFFxxn则可定义算符Â的函数F(Â)为:()0(0)ˆˆ()!nnnFFAAn补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态)与的“标积”*(,)dd是指对体系的全部空间坐标进行积分，d是坐标空间体积元。例如5对于一维粒子：ddx对于三维粒子：ddxdydz可以证明*11221122**11221122(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)cccccccc9、转置算符算符Â的转置算符ˆA定义为**ˆˆdAdA即**ˆˆ(,)(,)AA式中和是两个任意波函数。例如：xx（证明）ˆˆxxpp可以证明：ˆˆˆˆ()ABBA10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表达式中的所有量换成其复共轭。但应注意，算符Â的表达式与表象有关。11、厄米共轭算符算符Â之厄米共轭算符Â+定义为：**ˆˆ()dAdA或ˆˆ(,)(,)AA厄密共轭算符亦可写成：*ˆˆAA可以证明:ˆˆˆˆ()ABBAˆˆˆˆˆˆ()ABCCBA12、厄米算符(自共轭算符)(1).定义：满足下列关系的算符称为厄米算符.**ˆˆ()dAdAˆˆ(,)(,)AA或ˆˆAA(2).性质6性质I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。性质II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。三、算符的本征方程如果算符Â作用于函数的结果，等于某一常数乘以，即ˆA(2)那么称为算符Â的本征值，为算符Â的属于本征值的本征函数。方程(2)称为算符Â的本征方程。§3.2动量算符和角动量算符一、动量算符ipˆ1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程)()(ˆrprppp，即()()ppirpr采用分离变量法，令：()()()()prxyz代入动量本征方程()()ppirpr()()()()prxyz()()()xyzpppxyz123xyziiipxpypzcececeiprce(1)p可取任意实数值，即动量算符的本征值p组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的)(rp，这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。(2).归一化系数的确定①、归一化为函数取2/3)2(c，则)(rp归一化为函数，*()()()pprrdpp(2)rpiper2/3)2(1)(（3）一维情况：xpipxxer21)(②、箱归一化——P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为函数方法对任何连续谱都适用。二、角动量算符1、角动量算符的形式ˆˆˆˆlrpir(1)、直角坐标系7它在直角坐标系中的三个分量是：ˆˆˆ()xzylypzpiyzzyˆˆˆ()yxzlzpxpizxxzˆˆˆ()zyxlxpypixyyx角动量平方算符2222ˆˆˆˆxyzllll222ˆˆˆˆˆˆ()()()zyxzyxypzpzpxpxpyp])()()[(2222xyyxzxxzyzzy(2)、球坐标利用上述变换关系可以得到2ˆˆˆˆ,,xyzllll和在球坐标中的表示式是ˆ(sincos)xlictgˆ(cossin)ylictgˆzli22211ˆ[(sin)]sinsinl2ˆˆˆˆ,,xyzllll和只与,有关，与r无关，而且ˆzl只与有关。2、ˆzl的本征值和本征函数ˆzli为了求出ˆzl的本征值lz和本征函数()，我们解下列本征方程：ˆ()()zzll()()zilˆzl的本征值为：,zlm,2,1,0m式中的m习惯上称为磁量子数。相应本征函数：1()2imme角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0,ħ,2ħ,，而不能是其他的值。3、2ˆl的本征值和本征函数22211ˆ[(sin)]sinsinl设2ˆl的本征值为2l，本征函数为Y(,)，本征方程为822ˆlYlY在球坐标系中，2ˆl只与,有关，所以),(YY，则2222211[(sin)]sinsinYlY(6)令22l，(,)()()Y，其中()只是的函数，()只是的函数，由(6)式可得222[sin(sin)()()()()]sin()()2222sin1(sin)sin()dddmddd令2ˆl的本征值为l(l+1)ħ2，所属的本征函数为Ylm(,)，,2,1,0l；lm,,,10Ylm(,)正交归一条件为：2*00(,)(,)sinlmlmllmmYYdd说明：(1)、由上面结果可知2ˆl的本征值为l(l+1)ħ2，所属的本征函数为Ylm(,)，22ˆ(,)(1)(,)lmlmlYllY，,2,1,0l,2,1,0m显然，22(1)lll只能取,,6,2,022一系列离散值，由于l是表征角动量的大小，所以称l为角量子数。(2)、ˆ(,)(,)zlmlmlYmYYlm(,)即是2ˆl的本征函数，也是ˆzl的本征函数，其相应的本征值分别为l(l+1)ħ2，mħ。即球谐函数Ylm(,)是2ˆˆ(,)zll的共同本征态(3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；