量子力学讲义第五章

1第五章中心力场§5.1中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2pHVr22()2Vr，与经典力学中一样，角动量lrp也是守恒量，即ˆ0ltˆˆ[,]0lH222221ˆ()22lHrVrrrrr2,0zll；2ˆ,0lH；2ˆ,,zHll构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22lrVrErrrr上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。取为2,,zHll共同本征态，即：,,,llmrRrY,lmY是2,zll共同本征态：0,1,2,...l，0,1,2,...,ml分离变量：22222120lllEVllddRRRrdrdrr径向方程可写为：22222()120lllEVrlldRdRRdrrdrr，0,1,2,...l(1)为求解径向方程，引入变换：()()llrRrr；径向方程简化为：22222()10llEVrllddrr(2)不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr，2二、径向波函数在r0邻域的渐近行为：2222222()120lllrEVrlldRdRRdrrdrrr假定V(r)满足：20lim()0rrVr薛定谔方程在0r邻域表示为：222120llllldRdRRdrrdrr；(3)在正则奇点r=0邻域，设()slRrr，代入(3)式，得：222(1)2(1)0sssssrsrllr；(1)(1)ssll解出：1sl，或2(1)sl，即当r0时,1lRr或(1)2lRr根据波函数平方可积条件，因此要求：r0时，llRr的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解()()lrrRr满足0lim()0lrr三、两体问题化为单体问题两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用12()Vrr只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：22221212121212[()](,)(,)22TVrrrrErrmm(5)ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r112212mrmrRmm12rrr可以证明222212121111RmmM其中12Mmm——体系的总质量，1212mmmm——约化质量或折合质量2222222RXYZ，2222222xyz（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）二粒子体系的能量本征方程(5)化为：32222[()]22RTVrEM(6)此方程可分离变量，令()()Rr代入(6)式，得22()()2RCRERM(7)22[()]()()2VrrErTCEEE(8)式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，),,(ZYX就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。§5.4氢原子氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动)10~(8cmr。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）2()eVrr这是一个两体问题。按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数()()llrrRr满足下列方程：22222120lllldeEdrrr(1)及边条件(0)0l式中为电子的约化质量，epepmmmm，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令1e，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。22222120lllldeEdrrr(1)r=0,是微分方程的两个奇点。r0时，22210llllddrr；1()llrr，或()llrr只有()()lrrRr0是满足要求的，所以r0，1()llrr4r时，22220lldEdr，考虑束缚态，E0()rlre，22mE，考虑到平方可积性，()rlre；试探解为：1()()lrllrreur，代入径向薛定谔方程，并化简：22()212()21()0lllmerurlrurlur变量变换：2r，得到：22222(1)10dudumelludd（合流超几何方程）即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：220duduudd，参数：2(1)2l，221mel；解的一般形式：,,uF211...12!b，1111121!b，时，11bb，无穷级数解：,,Fe发散（2r可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，0,1,2,...即可满足中断条件；即：221melrn，0,1,2,...rn221rmelnn，0,1,2,...l，0,1,2,...rn，1,2,...n即：2222men，222nmE2424men；一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：42212neEn2212ean，(2)玻尔半径：22ae0.53oA，主量子数：n，二、氢原子的波函数5与En相应的径向波函数()()llrRrr可表示为/2(,22,)lnlrReFnl归一化的径向波函数为/2()1,22,2lnlnlRrNeFnll，2rna3/23/201(1)!221!2(1)!lnlnnNalnnl220()1nlRrrdr氢原子的束缚态能量本征函数为),()(),,(lmnlnlmYrRr,3,2,1n；1,,2,1,0nl；lm,,2,1,0。定态波函数),()(),,(lmnlnlmYrRr是氢原子体系Hˆ、2ˆl和ˆzl的共同本征函数。22ˆˆ(,,)(1)(,,)ˆnnlmnlmzHElrllrml能级简并度电子的能级nE只与主量子数n有关，而波函数nlm却与三个量子数n，l，m有关，因此能级nE是简并的（1n除外）。给定n，l可能1,,2,1,0n共n个；给定l，m可取l,,2,1,0共)12(l个。因此，对应于第n个能级nE的波函数就有2102]1)1(2[1)12(nnnlnl个，也就是说，电子的第n个能级是2n度简并的。例1、设氢原子处于状态123211210010132211100612131612131),,(YRYRYRr求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量的可能值及其几率，并求其平均值。三、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于nlm态时，在),,(r点周围的体积元ddrdrdsin2内发现电子的几率为2*(,,)(,,)nlmnlmnlmnlmdWrdrdd人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”1、在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率——径向分布622200()()sinnldWrrdrrdrdd02022202022sinsinddYdrrRddrdrYRlmnllmnldrrrRnl22)(2()nlrdr即，22()()nlnlrRrr称为径向几率密度或径向分布函数。使()nlr取最大值的半径称为最可几半径。例子：氢原子处于基态0010100YR，求最可几半径。解：022221010304rarRrea令100ddr000222210333000008248(1)0rrraaadrrrreeedraaaaa,,00ar经检验0ar时)(rnl为最大值所以0ar是最可几半径讨论：1、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）不同之处：电子在核外作轨道运动由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。联系之处：当氢原子处于1s,2p,3d,态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为,4,9aaa，而量子力学计算的结果表明，当r分别为a,4a,9a时找到电子的几率最大。对于ln-1态很难找到相似之处。2、氢原子的第一玻尔轨道半径22ae，从量子力学几率分布的观点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较：当氢原子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在ra和ra的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a。显然这两种图象是截然不同的。2、在(,)方向的立体角dddsin中找到电子的几率——角向分布220(,)()(,)lmnllmrdWdRrYrdrddYlm2),(7dPNmllm22)(cos2()(,)lmlmY——角向几率分布immllmlmePNY)(cos),(22)(cosmllmPN可见，角分布与无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。四、类氢离子以上结果对于类氢离子（He+，Li++，Be+++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为42222neZEn，1,2,3,n