量子力学讲义第八章

1第8章自旋与全同粒子Stern-Gerlach实验中得到了直接证实。1、Stern-Gerlach（斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量s（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2zs；(2)、每个电子具有自旋磁矩s，它和自旋角动量s的关系是sesmc，-e是电子的电荷，m是电子的质量自旋磁矩s在空间任意方向上的投影只能取两个数值：2szBemc2Bemc为玻尔磁子szzesmc，2lzzelmc电子sl（1）无经典对应量有经典对应量（2）2zs22(1)lll，zlm（3）szzesmc2lzzelmc回转磁比率实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），介子、k介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。§8.1电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数ˆˆˆˆ(,)FFrp而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量也是用一个算符描写，记为s它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆssis轨道角动量ˆl自旋角动量sˆˆˆllilˆˆˆssisˆˆˆ[,]xyzllilˆˆˆ[,]xyzssisˆˆˆ[,]yzxllilˆˆˆ[,]yzxssisˆˆˆ[,]zxyllilˆˆˆ[,]zxyssis2ˆˆ[,]0ill2ˆˆ[,]0iss由于自旋角动量s在空间任意方向上的投影只能取±ħ/2两个值，所以2(1)ˆˆˆ,,xyzsss三个算符的本征值都是有两个2；(2)它们的平方就都是22224xyzsss；(3)2ˆs的本征值为：222223ˆˆˆˆ4xyzssss依照22(1)lll，,2,1,0l2223(1)4sss21ss称为自旋量子数，只有一个数值1/2(为恒量)，l为角量子数，可取各种各样的值1,2zssmzlm，,2,1,0m21smms自旋磁量子数±1/2二、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写(,)zrs由于sz只取±ħ/2两个值，所以上式可写为两个分量12()(,)2()(,)2rrrr写成列矩阵(,)2(,)(,)2zrrsr规定列矩阵第一行对应于sz=ħ/2，第二行对应于sz=-ħ/2。若已知电子处于sz=ħ/2或sz=-ħ/2的自旋态，则波函数可分别12(,)20r120(,)2r三、自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵1、sz的矩阵形式在s2-sz表象中，sz的矩阵形式10012zssz是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±ħ/2。2、Pauli算符(1).Pauli算符的引进3令ˆˆ2s分量形式ˆˆ2ˆˆ2ˆˆ2xxyyzzsss对易关系：ˆˆˆssisˆˆˆ2i分量形式：zyxiˆ2]ˆ,ˆ[，xzyiˆ2]ˆ,ˆ[，yxziˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆˆ[,]2i因为sx,sy,sz的本征值都是±ħ/2，所以x,y,z的本征值都是±1；x2,y2,z2的本征值都是1。即：2221xyz(2).反对易关系基于的对易关系，可以证明各分量之间满足反对易关系:0ˆˆˆˆxyyx反对易0]ˆ,ˆ[yx（证明）ˆˆˆˆ0yzzy反对易ˆˆ[,]0yz（证明）ˆˆˆˆ0zxxz反对易ˆˆ[,]0zx（证明）(3)、izyxˆˆˆ（证明）(4).Pauli算符的矩阵形式根据定义10ˆˆ0122zzs1001ˆz其他两个分量，令xabcd利用反对易关系ˆˆˆˆzxxz，得01011010ababcdcdababcdcd00adx简化为：00xbc由力学量算符厄密性xx**0000bccb得：*bc或*cb4*00xcc，**20000xccccI2200cc21c令：ice（为实），则00ixiee求y的矩阵形式。由ˆˆˆyzxiˆˆˆyzxi出发写成矩阵形式，得010ˆ100iyieie()()00iiee这里有一个相位不定性，习惯上取=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：0110ˆx，00ˆiiy，1001ˆz从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵01102xs，002yisi，10012zs四、含自旋波函数的归一化和几率密度1、归一化电子波函数表示成(,)2(,)(,)2zrrsr矩阵形式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分232(,)zzsrsdr**(,)2(,)(,)22(,)2rrrdr22[(,)(,)]22rrd12、几率密度(,)(,)(,)zzzrsrsrs22(,)(,)22rr12(,)(,)22rr表示电子位置在r处的几率密度(在r点附近单位体积内找到电子的几率)2(,)2r表示电子自旋向上（sz=ħ/2），位置在r处的几率密度；52(,)2r表示电子自旋向下（sz=-ħ/2），位置在r处的几率密度；在全空间找到sz=ħ/2的电子的几率：23(,)2rdr在全空间找到sz=-ħ/2的电子的几率：23(,)2rdr五、自旋波函数波函数(,)2(,)(,)2zrrsr在有些情况下，例如Hamilton量不含自旋变量，或可表示为空间坐标部分与自旋变量部分之和），波函数可以分离变量，即(,)()()zzrsrs其中()zs是描述自旋态的波函数，其一般形式为()zasb式中2a与2b分别代表电子sz=ħ/2的概率，所以归一化条件表示为22ab**aabb1求：sz的本征态()smzssz的本征方程ˆ()()2zzzsss令12()zs和12()zs分别为本征值ħ/2和-ħ/2的自旋波函数，即11221122ˆ()()2ˆ()()2zzzzzzssssss121()0zs120()1zs二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交021212121正交性12()zs,12()zs构成正交归一完全性。与构成电子自旋态空间的一组正交完备基.一般自旋态可以用它们来展开,即任一单电子自旋波函数6()zasb00ab1100abab完全性其中()zS为电子的任一自旋态波函数。例1．设氢原子的状态是),()(23),()(2110211121YrRYrR，求能量E、角动量平方2l、角动量z分量lz、自旋角动量平方2s、自旋角动量z分量sz这五个力学量的可能取值、相应几率及其平均值。§4.5全同粒子体系与波函数的交换对换性一、全同粒子和全同性原理1、全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。如所有的电子、所有的质子。2、经典粒子的可区分性3、微观粒子的不可区分性4、全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本原理之一。二、波函数的对称性质~(,)iiiqrs表示第i个粒子的坐标和自旋1、Hamilton算符的对称性N个全同粒子组成的体系，其Hamilton量为：1ˆ(,,,,,,)ijNHqqqq221[(,)](,)2NNiiijiijVqtWqq其中(,)~iVqt表示第i个粒子在外场中的能量（势能），),(jiqqW~表示第i个粒子和第j个粒子之间的相互作用能量，调换第i和第j粒子，体系Hamilton量不变。即：11ˆˆ(,,,,,,)(,,,,,,)jiNijNHqqqqHqqqq表明，N个全同粒子组成的体系的Hamilton量具有交换对称性，交换任意两个粒子坐标（qi,qj)后不变。2、对称和反对称波函数考虑全同粒子体系的含时Shrödinger方程111ˆ(,,,,,,)(,,,,,,)(,,,,,,)ijNijNijNiqqqqHqqqqqqqqt将方程中(qi,qj)调换，得：111ˆ(,,,,,,)(,,,,,,)(,,,,,,)jijijiNNNiqqHqqqqtqqqqqq711ˆ(,,,,,,)(,,,,,,)iNNjjiqHqqqqqqq由于Hamilton量对于(qi,qj)调换不变，表明：(qi,qj)调换调换前后的波函数都是Shrodinger方程的解。根据全同性原理：11(,,,,,,)(,,,,,,)ijNjiNqqqqqqqq描写同一状态。因此，二者相差一常数因子。11(,,,,,,)(,,,,,,)jiNNijqqCqqqqqqPij表示第i粒子与第j粒子的全部坐标的交换，即11(,,,,,,)(,,,,,,)iijNNjijqPqqqqqqqijPC用Pij再运算一次，得2ijijPCP2C显然21ijP，所以C2=11CPij有（而且只有）两个本征值，即C=1。即全同粒子的波函数必须满足下列关系之一ijPijP式中ij=1,2,3,,N。凡满足ijP的，称为对称波函数，记为S；满足ijP的，称为反对称波函数，记为A。所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。三、波函数对称性的不随时间变化全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化，即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的；初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。——波函数的特性。例子：下列波函数中，哪些上完全对称的？哪些是完全反对称的？1、)()()()(22112121zzSSrgrf2、)]()()()()[()(22112122112121zzzzSSSSrfrf3、)]()()()()][()()()([2211212211212121zzzzSSSSrfrgrgrf4、)](exp[21212rrr5、)](exp[21rr四、Fermi（费密子）子和Bose（玻色）子（1）Bose子8凡自旋为ħ整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故