量子力学课程论文

本科生课程论文题目分波法与粒子散射学号姓名（物理学专业2013级）物理科学与技术学院课程性质：实践选修类课程名称：粒子物理学分数：2学分指导教师：开设学院：物理科学与技术学院开设时间：XXX—XXX分波法与粒子散射（）（物理科学与技术学院2013级）摘要：在了解分波法的情况下，推导证明了分波法主要思想，并在此基础上运用分波法求解了低能粒子在中心力场中的散射问题。关键词：分波法、中心力场、低能散射一、引言在中心力场作用下，粒子的散射截面存在一个普遍的计算方法—分波法，从原则上讲，分波法是一个严格的处理方法，但在实际应用中，并不能将所有的波都考虑在内，而是根据实际情况，只考虑一些重要的分波，实际上也是一种近似处理。特别是对于低能散射，分波法是一个极为方便的近似处理方法[1]。二、分波法在散射问题中把入射波按守恒量的本征态进行展开（分波）是一个十分重要的概念，由于轨道角动量的平方是守恒量，在散射过程中各l分波可以分开进行处理，使得问题简化[2]。中心立场下波函数可以表示为ψ=∑𝑅𝚤∞𝚤=0(𝑘𝑟)𝑌𝚤0(𝜃)这里展式得每一项称为一个分波带入薛定谔方程0)]([22rUk得到径向方程0)(])1()([))((12222rRrllrUkdrrdRrdrdrll令𝑅𝑙(𝑟)=𝑢𝑙(𝑟)𝑟⁄则可得到解)sin()(lllkrAru(1)(2)(3)(4)其中𝛿𝑙是入射波经过散射后第l个分波的相位移动（简称相移）由此krlkrAkrrArRllllrl)21sin()sin()()(cos)21sin(),(0llllrPkrlkrAr0)21(02)(cos)(cos)12()(2lllillllilPeAPeilkifl0)21(02)(cos)(cos)12(lllillllilPeAPeill上述(7)(8)两式联立可求得002sin2)(cos)12()1)((cos)12()(2llillillliePlePlkif因此散射波幅0sin)(cos)12(1)(llillePlkf其中)(coslP是Legendre多项式，是弹性散射角利用球谐函数的正交归一性，求得总结截面0222sin)12(44|)(|llllkdf其中2k代表入射粒子的能量由上式可以得出计算截面就是计算计算各个分波的相移𝛿𝑙三、低能散射1、球形方势阱当入射粒子能量很小时，低能粒子受球对称方势阱的散射，它的德布罗意波长就会比势场的作用范围大得多。以a表示方形势阱的范围，于是粒子的势能可写为(5)(6)(7)(8)(10)(11)(12)ararVrV,0,)(0总相移kaaktgkkarctg)]([0总散射面积])([sin4sin4220220kaaktgkkarctgkkQQ在粒子能量很低k→0的情况下]1)([000akaktgka1其中kVk200||2对应的总散射面积为2002202022)1(44sin4akatgkakkQ由上式可以看出,在粒子能量很低的情况下,调整势阱参数𝑈0和a,使tg(𝑘′a)≈𝑘′a时,可以使入射粒子能量为1ev时散射截面出现一个极小值,即出现共振透射现象。当粒子能量增大,高l分波的贡献便是不可忽略的，此时需要解l≠0的方程(6),求解较为困难。对于高能散射问题,ka≫1时,可以用玻恩近似法来计算散射截面。入射粒子在原子势场中的散射可以分两种情况分析。对于低能粒子,我们可以运用分波法分析,调节调整势阱参数𝑈0和a,粒子会发生共振透射现象,出现总散射截面最小。对于高能粒子,可以运用波恩近似法计算总散射截面,且得到散射截面与粒子能量E成反比的结论。2、低能电子弹性散射解非相对论薛定谔微分方程得到散射截面方程𝑑𝜎(𝜃)𝑑Ω=1𝑘2|∑(2𝑙+1)𝑠𝑖𝑛𝛿𝑙𝑒(𝑖𝛿𝑙)𝑃𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃)∞𝑙=0|2总的散射截面是𝜎𝑇=4𝜋𝑘2∑(2𝑙+1)𝑠𝑖𝑛2𝛿𝑙∞𝑙=0其中2k=2E，E是入射电子能量，)(coslP是Legendre多项式，是弹性散射角(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)之后按照Harman、Skillman的方法划分径向r的计算网格，应用Simpson数值计算方法可求出低能电子弹性散射的散射截面[3]。四、讨论1、相移𝛿𝑙的正负号U(r)的作用是改变l分波的径向波函数的渐近行为sin(𝑘𝑟−𝑙𝜋2⁄)𝑘𝑟⟶sin(𝑘𝑟−𝑙𝜋2⁄+𝛿𝑙)𝑘𝑟即产生一个相移𝛿𝑙，若U(r)=0显然𝛿𝑙=0，从物理图像来看，若U(r)0（斥力），粒子将被推向外，即径向波函数将往外推。这相当于𝛿𝑙0，反之，若U(r)0（斥力）则𝛿𝑙0，粒子将被推向内，即径向波函数将往内推。即𝛿𝑙={+，(引力)−，(斥力)2、相移的Born近似计算利用公式[4]（注意：q=2ksinθ∕2）𝑠𝑖𝑛𝑞𝑟𝑞𝑟=∑(2𝑙+1)𝑗𝑙2(𝑘𝑟)𝑃𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃)∞𝑙=0带入公式(13.2.21)[5]得f(θ)=−2𝜇2∑(2𝑙+1)𝑃𝑙(𝑐𝑜𝑠𝜃)∞𝑙=0∫𝑉(𝑟)𝑗𝑙2(𝑘𝑟)∞0𝑟2𝑟与分波法计算公式(11)0sin)(cos)12(1)(llillePlkf比较，当𝛿𝑙很小时，𝑒𝑖𝛿𝑙≈1，sin(𝛿𝑙)≈𝛿𝑙可得到𝛿𝑙≈−2𝜇2∫𝑉(𝑟)𝑗𝑙2(𝑘𝑟)∞0𝑟2𝑟所以𝛿𝑙={+，𝑉(𝑟)0(引力)−，𝑉(𝑟)0(斥力)设V(r)具有有限力程，只能在r≤𝑟0范围中不显著为零，并且入射粒子能量较低，kr0≪1利用(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)𝑗𝑙(𝑘𝑟)𝑘𝑟⟶0→𝑘𝑙𝑟𝑙(2𝑙+1)!!于是𝛿𝑙≈−2𝜇𝑘2∫𝑘2𝑙𝑟2𝑙[(2𝑙+1)‼]2𝑉(𝑟)𝑟00𝑟2𝑟∝𝑘2𝑙+1随l增加，𝛿𝑙下降很快，所以通常只需计算l较小的几个分波，特别是能量很低时，只需考虑s波。五、结论在中心力场中分析了粒子的散射情况，运用分波法求出了低能入射粒子散射的解析解，了解到对于低能粒子,通过调节调整势阱参数,会出现总散射截面最小的情况，加深了对粒子散射和分波法的理解。参考文献[1][2][5]曾谨言.量子力学卷Ⅰ.科学出版社,2016.[413-440][3]谭震宇.应用分波法计算低能电子弹性散射截面[J].计算物理.1991(02).174-181[4]G.N.Watson,TheoryofBesselFunctions,p.363(1935)(28)